z-calcul 070401

КАК  СЧИТАТЬ

ЕСЛИ ЭТОТ ТЕКСТ ОСКОРБИТ ЧЬИ-ТО РЕЛИГИОЗНЫЕ ЧУВСТВА, ПРОСТИТЕ - Я ЭТОГО НЕ ХОТЕЛ.

 

Связь доли меченых элементов и меченых групп.

Определение доли зараженных особей по доле зараженных пулов.

Поиск дозы, вызывающей определенный эффект.

Оценка влияния диагностических и лечебных мероприятий на риск передачи возбудителей гемотрансмиссивных инфекций.

Оценка выживаемости сочленов группы по изменению их доли.

Алгоритмы для расчета размеров культур членистоногих.

Планирование численности лабораторных популяций живых организмов.


 

Связь доли меченых элементов и меченых групп.

РЭТ-инфо. 2000. N 2. С. 36-38.

 

В ряде случаев научной и практической работы возникает потребность узнать долю каким-то образом меченых элементов (особей) притом, что они исследуются не индивидуально, а группами (пулами). Например, при определении зараженности переносчиков наличие возбудителя может регистрироваться не в каждой отдельной особи, а в пуле из нескольких, растертых в однородную массу; при использовании серологических методов таким же образом может определяться наличие представителей какого-то вида членистоногих или резистентных особей; аналогично может определяться доля особей, меченых красителями или радиоактивными соединениями. Бывают и обратные задачи, в которых требуется определить долю меченых пулов по доле меченых элементов (меченым считается пул, содержащий хотя бы один меченый элемент). Например, известен процент бракованных таблеток, а надо узнать процент упаковок, в которых может оказаться бракованная таблетка. Или известна доля зараженных клещей и общее число контактов человека с клещами, а надо узнать вероятность его контакта с зараженным клещом.

В том случае, когда распределение элементов по пулам равномерно случайно (т. е. каждый элемент с равной вероятностью может попасть в любой пул), теория вероятности позволяет решать эти задачи. А если известны и доля меченых элементов, и доля меченых пулов, можно определить характер распределения элементов – размещены ли они по пулам случайным образом, сгруппированы или, наоборот, распределены равномерно. Например, если известен процент квартир, в которых есть тараканы, и домов, содержащих хотя бы одну такую квартиру, можно определить влияние характера дома (особенностей его расположения, содержания и т. п.) на возможность заселения его тараканами. (В данном случае элементами являются квартиры, пулами – дома, а метка – наличие тараканов.)

Судя по сообщению М.И. Леви (1994), задача первого типа (определение доли зараженных особей по доле зараженных пулов) впервые была решена К.В. Дурихиным. Он предложил формулу, которая вошла в «Общую инструкцию по паразитологической работе в противочумных учреждениях СССР», Саратов, 1978. На этом, к сожалению, работа К.В. Дурихина в данной области прекратилась, а продолжателей, насколько мне известно, не было.

Цель данной статьи - продолжить исследование связи распространения метки среди отдельных элементов и среди групп, которые они образуют. Я говорю о метке т.к. зараженность - не единственный признак, по которому возможно выделение особей или других элементов.

 

Общие обозначения

В дальнейшем тексте приняты следующие обозначения:

N - число исследованных пулов.

M - число меченых пулов - тех, в которых найден хотя бы один меченый элемент.

Р – доля меченых пулов; Р = M/N.

Q – доля не меченых пулов; Q = 1-P.

n - число элементов в пуле (объем пула). Обычно каждый пул содержит одно и то же число элементов. Если их число в разных пулах различно, n – среднее число элементов в пуле.

m – число меченых элементов в генеральной совокупности.

р – доля меченых элементов в генеральной совокупности; p = m/n.

q – доля не меченых элементов в генеральной совокупности; q = 1-p.

 

Связь доли меченых элементов в генеральной совокупности и доли меченых пулов.

При равномерно-случайном распределении доля меченых элементов и доля меченых пулов связаны следующей зависимостью:

(1-P) = (1-p)n                                                                                                      (1)

и, что то же самое, но удобнее для расчетов,

Q = qn                                                                                                                 (1а)

Эта формула позволяет определить ожидаемую долю не меченых пулов по доле не меченых элементов. (Еще раз подчеркну: только при равномерно-случайном распределении элементов по пулам.)

Для обратного расчета (определения доли не меченых элементов по доле не меченых пулов) можно использовать простое преобразование формулы (1а):

q = antilog(logQ/n)                                                                                               (2)

Для перехода от немеченых к меченым достаточно помнить, что сумма их долей равна единице; т. е.

P = 1 – Q                                                                                                              (3)

и

p = 1 – q                                                                                                                (3а)

Если использование антилогарифмов вызывает затруднение, можно определять долю меченых элементов по доле меченых пулов с помощью формулы К.В. Дурихина:

p = lg[N/(N-M)]/0.434/n                                                                                      (4)

(Для удобства изложения обозначения и способ написания формулы по сравнению с оригиналом несколько изменены.)

Эта формула представляет собой преобразование формулы (2) с заменой q на 1-p. Она облегчает работу тем, что в ней часть вычислений (в десятичных логарифмах) уже выполнена. Поскольку результат этих вычислений округлен, она дает приближенный ответ. В дальнейшем изложении будут применяться точные формулы (1а) и (2). В них можно использовать логарифмы с любым основанием. В конкретных примерах использованы десятичные логарифмы.

Пример 1. Определение доли меченых пулов по доле меченых элементов.

Условия: Человека укусили 20 комаров. Известно, что доля комаров, несущих зрелые спорозоиты малярийного плазмодия равна 0.01 % (р = 0.0001). Требуется определить вероятность заражения этого человека малярией.

Обозначения: Пулом в данном случае является группа из 20 комаров. Вероятность того, что эта группа окажется зараженной (т. е. в ней будет хотя бы один инфективный комар) равна доле зараженных групп из 20 комаров от всех групп по 20 комаров.

Решение: В данном случае надо использовать формулу (1а) Q = qn, где Q – доля не зараженных пулов (в нашем случае групп комаров), q - доля не зараженных элементов (в нашем случае q = 1 – p =1 – 0.0001 = 0.9999), n - число элементов в пуле (в нашем случае 20 комаров).

Вычисления: Q = qn = 0.999920 = 0.998 (округленно). Это – доля не зараженных пулов. Для определения доли зараженных используем формулу (3) P = 1 – Q = 1 – 0.992 = 0.002.

Ответ: Вероятность того, что в данных условиях нападение 20 комаров приведет к заражению человека малярией равна в среднем 0.002 (0.2 %). Паниковать не стоит.

Пример 2. Определение доли меченых элементов по доле меченых пулов.

Условия: Исследовано 40 пулов по 20 блох. В 5 пулах обнаружен возбудитель чумы. Требуется определить долю зараженных чумой особей блох.

Обозначения: В принятых выше обозначениях N=40, M=5, n=20, Q = 35/40 = 0.875.

Решение: Для определения доли не зараженных особей используем формулу (2)

Вычисления: q = antilg(lg0.875/20) = antilg(-0.05799/20) = antilg(-0.0028996) = 0.993. Это - доля не зараженных особей.

Для определения доли зараженных особей используем формулу (3а)

p = 1 – q = 1 - 0.993 = 0.007.

Ответ: В данном случае доля зараженных блох равна 0.007 (0.7 %).

 

Определение оптимального размера пула.

Исследование связи доли меченых пулов и меченых элементов позволяет решать вопрос о том, сколько элементов целесообразно объединять в один пул. Когда доля меченых элементов мала, выгодны большие пулы, когда велика – малочисленные. Чтобы снизить затраты труда и получить достаточно значимый результат надо, чтобы доля меченых пулов была близка 0.5. Если есть основания предполагать, какова доля меченых элементов в исследуемой совокупности, объем оптимального пула определяется по следующей формуле:

n=log(0.5)/log(1-p)                                                                                         (5)

Пример 3. Определение оптимального размера пула.

Условия: Ожидаемая зараженность блох чумой в исследуемой популяции близка к 0.005, т.е. 0.5%. Требуется определить оптимальный размер пула.

Вычисления: По формуле (5) имеем: n = lg(0.5)/lg(1-0.005) =-0.30103/lg(0.995) =-0.30103/-0.002177=138.

Ответ: В ожидаемой ситуации оптимальный размер пула 138 особей. (Если бы в примере 2 исследовалось не по 20, а по 130-140 особей в пуле, то мы получили те же самые данные. При этом затраты труда были бы гораздо меньше - потребовалось бы исследовать не 40, а только 5-6 пулов.)

Тут, правда, подстерегает опасность: малое число исследованных пулов ведет к большой ошибке репрезентативности и, тем самым, снижению точности результата. Целесообразно весь материал делить не менее, чем на 30-40 пулов. В этом случае ошибка репрезентативности будет не более 1.5%. Для биологических исследований это – очень приличная точность. Формула (5) нужна, главным образом, для того, чтобы не брать слишком большие пулы. Если это сделать, то даже при малой доле меченых элементов все пулы могут оказаться мечеными, и мы получим мало вразумительный результат. Так, если бы в примере 2 пулы состояли из 600 особей, все 30 – 40 пулов (с вероятностью ошибки 0.05) оказались бы зараженными. И весь вывод, который можно было бы сделать, свелся бы к тому, что «доля зараженных особей лежит в пределах от 0.5% до 100%».

 

Статистический анализ

Формулы (1) - (4) позволяют определять лишь среднее значение доли меченых элементов и пулов. Это дает мало информации - необходимо знать доверительный интервал полученного результата. Этот интервал удобнее всего вычислять по следующим формулам:

Dmin =  {(M+t2/2) - t*sqr[M(N-M)/N+ t2/4]}/(N + t2)                             (6)

Dmax = {(M+t2/2) + t*sqr[M(N-M)/N+t2/4]}/(N + t2)                             (6a)

где

Dmin -   нижняя граница доверительного интервала доли,

Dmax - верхняя граница доверительного интервала доли,

t - критерий Стюдента для соответствующей вероятности ошибки репрезентативности,

M – число меченых пулов,

N – число исследованных пулов.

Примечание. Если первично определяются не пулы, а элементы, в формулах (6) и (6а) N следует заменить на n (число исследованных элементов), а M на m (число меченых элементов).

Приведенные формулы пригодны для любых соотношений «M» и «N», то есть дают корректный результат в любой точке возможного диапазона: от 0 до 1. Если же доля меченых лежит в диапазоне от 0.25 до 0.75 (от 25% до 75%), хорошее приближение дают более простые формулы:

Dmin =  M/N - t*sqr[(MN-M2)/N3]                                                       (7)

Dmax = M/N + t*sqr[(MN-M2)/N3]                                                      (7a),

где обозначения и примечание те же, что и к формулам (6) и (6а).

Вычислив граничные значения доверительного интервала доли немеченых пулов (Qmin и Qmax), можно определить доверительный интервал доли меченых элементов. Для определения нижней границы доверительного интервала доли не меченых элементов надо в формулу (2) вместо Q подставить Qnim, а для определения верхней границы - Qmax.

Пример 4. Определение доверительного интервала доли меченых элементов.

Условия: По материалу, описанному в примере 2, определить доверительный интервал доли зараженных блох с вероятностью ошибки не более 0.05.

Решение: Так как доля незараженных пулов (Q = 0.875) лежит вне диапазона 0.25-0.75, для определения доверительных границ используем формулы (6) и (6а). Значение t Стюдента округленно равно 2 (для вероятности ошибки 0.05 и числа степеней свободы N-1=39).

Вычисления: По формулам (6) и (6а) определяем граничные значения доли не зараженных пулов.

Qmin={(35+22/2) - 2*sqr[35(40-35)/40 +22/4]}/(40+22) = 0.713 (округленно 71 %).

Qmax={(35+22/2)+2*sqr[35(40-35)/40 +22/4]}/(40+22) = 0.954 (округленно 95 %).

По формуле (2) определяем граничные значения доли не зараженных блох.

qmin = antilg(lgQmin/n) = antilg(lg0.713/20) = antilg(-0.147/20) = antilg(-0.0073455) = 0.983

qmax = antilg(lgQmax/n) = antilg(lg0.954/20) = antilg(-0.020/20) = antilg(-0.0010226) = 0.998

По формуле (3а) определяем граничные значения доли зараженных блох.

Максимальное значение: 1 – 0.983 = 0.017 (1.7 %)

Минимальное значение:   1 – 0.998 = 0.002 (0.2 %)

Ответ: Судя по полученным данным, в исследованной генеральной совокупности не менее 0.2 % и не более 1.7 % блох заражено возбудителем чумы (округленно, с вероятностью ошибки репрезентативности 0.05).

Аналогично решается задача по определению доверительного интервала доли меченых пулов, когда она определяется по доле меченых элементов. На первом этапе по формулам (6) и (6а) или (7) и (7а) вычисляют граничные значения доли не меченых особей, а на втором эти значения подставляют в формулу (1а) и тем определяют граничные значения доверительного интервала доли не меченых пулов. Далее по формуле (3) определяют граничные значения доверительного интервала доли не меченых пулов.

 

Определение характера распределения метки.

Сравнение доли меченых элементов с долей меченых групп, которые они составляют, позволяет оценить характер распределения метки, разбросана ли она равномерно-случайно, рассеяна ли или сконцентрирована в отдельных пулах. В первом случае соблюдается равенство

log(1-p) = log(1-P)/n                                                                                     (8)

во втором неравенство

log(1-p) > log(1-P)/n                                                                                     (8а)

в третьем неравенство

log(1-p) < log(1-P)/n                                                                                     (8б)

Пример 5. Определение характера распределения метки.

Условия: В двух популяциях (одна – черных, а другая - серых крыс) исследованы на зараженность чумой блохи, собранные со зверьков. Из каждой популяции взято 10 зверьков, с каждого из которых снято по 10 блох. Каждая блоха исследована индивидуально. В обоих популяциях 15% исследованных блох дали положительный результат, но у черных крыс зараженные блохи найдены на двух зверьках, а у серых - на восьми. Требуется сравнить характер распределения зараженных блох в исследованных популяциях.

Решение: Пулом считаются особи, снятые с одного зверька. У черных крыс зараженные пулы составили 20 %, а у серых – 80 %.

Вычисления:

По средним данным у черных крыс обнаруживается неравенство:

[lg(1-0.15) =-0.0706] < [lg(1-0.2)/10 = -0.0097],

а у серых - равенство:

[lg(1-0.15) =-0.0706] = [lg(1-0.8)/10 = -0.0699]

Ответ: Полученные данные позволяют предполагать, что у черных крыс зараженные блохи сконцентрированы на немногих зверьках, а у серых рассеяны равномерно-случайно. Это говорит о разнице в интенсивности обмена блохами между зверьками, связи их с источником инфекции и т. д.

Однако такой вывод преждевременен. Если провести статистический анализ, окажется, что доверительные интервалы полученных характеристик перекрываются. Это значит, что обнаруженные различия могли быть вызваны ошибкой репрезентативности - объем выборки недостаточен.

 

Зависимость метки пула от числа меченых элементов.

Приведенные выше формулы (в том числе и формула К.В.Дурихина) справедливы лишь тогда, когда для метки пула достаточно, чтобы он содержал хотя бы один меченый элемент. Для ситуаций, в которых метка пула возникает лишь тогда, когда число меченых элементов, содержащихся в нем, больше единицы, нужны несколько более сложные расчеты. Общая формула связи доли не меченых пулов (Q) с долями меченых (p) и не меченых (q) элементов такова:

Q = qn + npq(n-1) + C2np2q(n-2) +…+ Cknpkq(n-k) ,                                           (9)

где 1, 2 … k – максимальное число меченых элементов в пуле, при котором он остается не меченым.

Собственно говоря, формула (1а) является вариантом формулы (9) для k = 0. Случаи, в которых метка пула возникает лишь тогда, когда число меченых элементов, содержащихся в нем, больше единицы, встречаются редко. По этой причине анализ производных формулы (9) здесь не приводится. Необходимо лишь обратить внимание на возможность такой ситуации. Если в каком–то случае равенство Q = qn не соблюдается, целесообразно воспользоваться формулой (9), чтобы проверить, достаточно ли одного меченого элемента для метки пула. Для этого значение Q сравнивают с многочленом, стоящим в правой части формулы (9), беря последовательно все большее число его членов.

 

Заключение.

По доле меченых групп (пулов) можно определять не только среднюю долю меченых элементов (что было известно), но и доверительный интервал этого показателя. Предварительные сведения о распространенности метки среди исследуемых элементов позволяет определять оптимальный размер пула. Сопоставление меченности элементов и групп, которые они образуют, дает возможность судить о характере распределения метки и на этой основе делать эпидемиологические, паразитологические и зоологические выводы.

 

Литература

Леви М.И. Константин Васильевич Дурихин (история одного озарения). Занимательные очерки о деятельности и деятелях противочумной системы России и Советского Союза. М. Информатика. 1994. С. 71-156.

ФОРМУЛЫ

N - число исследованных пулов.

M - число меченых пулов - тех, в которых найден хотя бы один меченый элемент.

Р – доля меченых пулов; Р = M/N.

Q – доля не меченых пулов; Q = 1-P.

n - число элементов в пуле (объем пула). Обычно каждый пул содержит одно и то же число элементов. Если их число в разных пулах различно, n – среднее число элементов в пуле.

m – число меченых элементов в пуле.

р – доля меченых элементов в генеральной совокупности; p = m/n.

q – доля не меченых элементов в генеральной совокупности; q = 1-p.

 (1-P) = (1-p)n                                                                                                      (1)

Q = qn                                                                                                                 (1а)

q = antilog(logQ/n)                                                                                               (2)

P = 1 – Q                                                                                                              (3)

p = 1 – q                                                                                                                (3а)

p = lg[N/(N-M)]/0.434/n                                                                                      (4)

n=log(0.5)/log(1-p)                                                                                         (5)

Dmin =  {(M+t2/2) - t*sqr[M(N-M)/N+ t2/4]}/(N + t2)                             (6)

Dmax = {(M+t2/2) + t*sqr[M(N-M)/N+t2/4]}/(N + t2)                             (6a)

Dmin =  M/N - t*sqr[(M*N-M2)/N3]                                                       (7)

Dmax = M/N + t*sqr[(M*N-M2)/N3]                                                      (7a),

log(1-d) = log(1-D)/n                                                 (8)

log(1-d) > log(1-D)/n                                                (8а)

log(1-d) < log(1-D)/n                                                   (8б)

Q = qn + npq(n-1) + C2np2q(n-2) +…+ Cknpkq(n-k) ,                                           (9)

где 1, 2 … k – максимальное число меченых элементов в пуле, при котором он остается не меченым.


Определение доли зараженных особей по доле зараженных пулов.

(Это – почти то же самое, что выше, но упрощенно.)

 

1. Общие положения и область применения

1.1. Настоящие Методические рекомендации предназначены для Центров государственного санитарно-эпидемиологического надзора и других организаций, проводящих исследование зараженности хранителей и переносчиков болезней человека.

1.2. Методы, изложенные в настоящих рекомендациях, позволяют определять:

 долю зараженных особей по доле зараженных пулов;

 долю зараженных пулов по доле зараженных особей;

 оптимальный размера пула;

 характер распределения элементов по пулам;

 статистические характеристики результатов исследований.

 

2. Термины и обозначения

Пул - группа исследованных особей. Пул считается меченым (зараженным), если в нем содержится хотя бы один меченый элемент (зараженная особь).

N - число исследованных пулов.

M - число меченых пулов.

Р – доля меченых пулов; Р = M/N.

Q – доля не меченых пулов; Q = 1-P.

h - число элементов в пуле. Обычно каждый пул содержит одно и то же число элементов. Если их число в разных пулах различно, h – среднее число элементов в пуле.

n – число исследованных элементов из генеральной совокупности.

m – число меченых элементов в генеральной совокупности.

р – доля меченых элементов в генеральной совокупности; p = m/n.

q – доля не меченых элементов в генеральной совокупности; q = 1-p.

В расчетах можно использовать логарифмы с любым основанием. Поэтому в формулах указаны неопределенные логарифмы (log). В конкретных примерах использованы десятичные логарифмы (lg).

 

3. Определение доли меченых элементов по доле меченых пулов.

Долю меченых элементов в генеральной совокупности по доле меченых пулов можно вычислять двумя способами.

3.1. Определение доли меченых элементов по доле меченых пулов в 4 этапа.

На первом из них определяют долю меченых пулов по формуле:

Р = M/N                                                                                                             (1)

На втором определяют долю не меченых пулов по формуле:

Q = 1-P                                                                                                              (2).

На третьем определяют долю не меченых элементов в генеральной совокупности по формуле:

q = antilog(logQ/h)                                                                                               (3).

На четвертом определяют долю меченых элементов в генеральной совокупности по формуле:

p = 1-q                                                                                                                 (4).

 

3.2. Определение доли меченых элементов по доле меченых пулов за 1 этап.

Для определения доли меченых элементов по доле меченых пулов за 1 этап используется следующая формула:

p » lg[N/(N-M)]/0,434/h                                                                                      (5)

Эта формула облегчает работу тем, что в ней часть расчетов уже выполнена. Однако, поскольку результат этих вычислений округлен, она дает приближенный ответ.

 

Пример 1. Определение доли меченых элементов в генеральной совокупности по доле меченых пулов.

Условия. Исследовано 40 пулов по 20 блох. В 5 пулах обнаружен возбудитель чумы. Требуется определить долю зараженных чумой блох в генеральной совокупности.

Обозначения. В принятых выше обозначениях N = 40, M = 5, h = 20.

Решение.

I этап. По формуле (1) определяем долю зараженных пулов:

Р = M/N = 5/40 = 0,125.

II этап. По формуле (2) определяем долю не зараженных пулов:

Q = 1-P = 1-0,125 = 0,875.

III этап. По формуле (3) определяем долю не зараженных особей в генеральной совокупности:

q = antilog(logQ/h) = antilg(lg0,875/20) » antilg(-0,05799/20) » antilg(-0,0028996) » 0,993.

IV этап. По формуле (4) определяем долю зараженных особей в генеральной совокупности:

p = 1-q » 1 - 0,993 » 0,007.

Ответ. В исследованном случае доля зараженных блох в генеральной совокупности равна в среднем 0,007 (0,7 %).

 

4. Определение доли меченых пулов по доле меченых элементов.

Долю меченых пулов по доли меченых элементов определяют в 4 этапа.

На первом из них определяют долю меченых элементов в генеральной совокупности по формуле:

р = m/n                                                                                                    (6).

На втором определяют долю не меченых элементов в генеральной совокупности по формуле:

q = 1-p                                                                                                      (7).

На третьем определяют долю не меченых пулов по формуле:

Q = qh                                                                                                       (8).

На четвертом определяют долю меченых пулов по формуле:

p = 1-q                                                                                                      (9).

 

Пример 2. Определение доли меченых пулов по доле меченых элементов в генеральной совокупности.

Условия: В какой-то местности собрано 120 клещей I. ricinus. У 30 из них обнаружены возбудители боррелиоза. Известно, что при посещении этой местности за сезон на человека нападает в среднем 4 клеща и что для заражения человека боррелиозом достаточно нападения даже одного зараженного клеща. Определить вероятность заражения людей указанным заболеванием в данных условиях.

Пояснение: Пулом в данном случае является группа клещей, нападающих на человека.

Обозначения. В принятых выше обозначениях n = 120; m = 30; N = 4.

Решение.

I этап. По формуле (6) определяем долю зараженных особей в генеральной совокупности:

р = m/n = 30/120 = 0,25.

II этап. По формуле (7) определяем долю не зараженных особей в генеральной совокупности:

q = 1-p = 1 – 0,25 = 0,75.

III этап. По формуле (8) определяем долю не зараженных групп из 4 клещей:

Q = qh = 0,754  » 0,32.

IV этап. По формуле (9) определяем долю зараженных групп из 4 клещей:

p = 1-q » 1-0,32 » 0,68.

Ответ: В данных условиях вероятность заражения людей боррелиозом в течение сезона равна в среднем 0,68 (68%). Необходимо принять меры.

 

5. Комбинированный вариант.

В ряде случаев доля меченых пулов одного объема известна (первичные пулы). Требуется определить долю меченых пулов другого объема (вторичные пулы). Задачу подобного рода можно разбить на 2 части. В первой части по известной доле меченых первичных пулов вычислить долю меченых особей в генеральной совокупности. Во второй - по доле меченых особей в генеральной совокупности вычислить долю меченых вторичных пулов. Но можно ограничится и одной формулой:

Pk = 1-{antilog[log(1-M/N)/h]}k                                                       (10),

где Pk – доля меченых вторичных пулов,

k – число особей (объем) вторичных пулов,

M, N и h – описанные выше показатели для первичных пулов.

 

Пример 3. Комбинированный вариант.

Условия: В какой-то местности определяли зараженность комаров возбудителем малярии человека. Их исследовали пулами по 100 штук. Всего исследовано 50 пулов, в 12 из которых обнаружены зрелые спорозоиты. Известно, что за сезон человека кусает не более 20 комаров. Требуется определить вероятность заражения людей малярией в этой местности.

Пояснение:  Фактически, требуется определить вероятность того, что группа из 20 комаров окажется зараженной (т. е. в ней будет хотя бы один инфективный комар).

Обозначения. В принятых выше обозначениях N = 50, M = 12, h = 100, k = 20.

Решение подробным способом.

I часть – определение доли зараженных особей.

I этап. По формуле (1) определяем долю зараженных пулов:

Р = M/N = 12/50 = 0,24.

II этап. По формуле (2) определяем долю не зараженных пулов:

Q = 1-P = 1-0,24 = 0,76.

III этап. По формуле (3) определяем долю не зараженных особей:

q = antilog(logQ/h) = antilg(lg0,76/100) » antilg(-0,0012) » 0,997.

IV этап излишен т. к. для дальнейших расчетов доля зараженных особей не нужна.

II часть – определение вероятности наличия зараженных особей в группе из 20 комаров.

I и II этапы не нужны, т. к. доля незараженных особей известна из I части. Она равна » 0,997.

III этап. По формуле (8) определяем долю не зараженных групп из 20 комаров.

Q = qk » 0,997 20 » 0,94.

IV этап. По формуле (9) определяем долю зараженных групп из 20 комаров.

p = 1-q » 1-0,94 » 0,06 (6%).

Решение сокращенным способом.

По формуле (10) имеем:

Pk = 1-{antilg[lg(1-12/50)/100]}20 » 1-[antilg(lg0,76/100)]20  » 1-[antilg(-0,0012)]20 » 1-0,99720 » 1-0,94 » 0,06 (те же 6%).

Ответ: Каким бы способом мы ни решали задачу, результат, естественно, один и тот же: в данных условиях вероятность заражения людей малярией равна в среднем 6% за сезон. Есть повод для беспокойства, но не для паники.

 

6. Определение оптимального размера пула

Исследование связи доли меченых пулов и меченых элементов позволяет решать вопрос о том, сколько элементов целесообразно объединять в один пул. Чтобы сократить затраты труда и получить значимый результат надо, чтобы доля меченых пулов была близка 0,5. Если есть основания предполагать, какова доля меченых элементов в исследуемой совокупности, объем оптимального пула определяется по следующей формуле:

h = log(0,5)/log(1-p)                                                                                         (11)

 

Пример 4. Определение оптимального размера пула.

Условия: Ожидаемая зараженность блох чумой в исследуемой популяции близка к 0,005, т.е. 0,5%. Требуется определить оптимальный размер пула.

Решение.

По формуле (11) имеем:

h = lg(0,5)/lg(1-0,005) » -0,30103/lg(0,995) » -0,30103/-0,002177 » 138.

Ответ: В ожидаемой ситуации оптимальный размер пула 138 особей.

 

Примечание 1. Если бы в примере 2 пул состоял не из 20, а 130-140 особей, то мы получили те же самые данные. При этом затраты труда были бы гораздо меньше - потребовалось бы исследовать не 40, а только 5-6 пулов.

Тут, правда, подстерегает опасность: малое число исследованных пулов ведет к большой ошибке репрезентативности и, тем самым, снижению точности результата. Целесообразно весь материал делить не менее, чем на 30-40 пулов. В этом случае ошибка репрезентативности не будет превышать 1,5%. Для биологических исследований это – очень приличная точность. Формула (11) нужна, главным образом, для того, чтобы не брать слишком большие пулы. Если это сделать, то даже при малой доле меченых элементов все пулы могут оказаться мечеными, и мы получим мало вразумительный результат. Так, если бы в примере 1 пулы состояли из 600 особей, все 40 пулов (с вероятностью ошибки 0,05) оказались бы зараженными. И весь вывод, который можно было бы сделать, свелся к тому, что «доля зараженных особей в генеральной совокупности лежит в пределах от 0,5% до 100%».

 

7. Определение характера распределения метки

Сравнение доли меченых элементов с долей меченых групп, которые они составляют, позволяет оценить характер распределения метки, разбросана ли она равномерно случайно, рассеяна ли или сконцентрирована в отдельных пулах. В первом случае соблюдается равенство

log(1-p) = log(1-P)/h                                                                                     (12)

во втором неравенство

log(1-p) > log(1-P)/h                                                                                     (12а)

в третьем неравенство

log(1-p) < log(1-P)/h                                                                                     (12б)

 

Пример 5. Определение характера распределения метки.

Условия: В двух популяциях (одна – черных, а другая - серых крыс) исследованы на зараженность чумой блохи, собранные со зверьков. В каждой популяции взято 10 зверьков, с каждого из которых снято по 10 блох. Каждая блоха исследована индивидуально. В обоих популяциях 15% исследованных блох дали положительный результат, но у черных крыс зараженные блохи найдены на двух зверьках, а у серых - на восьми. Требуется сравнить характер распределения зараженных блох в исследованных популяциях.

Пояснение: В данном случае пул составляют блохи, снятые с одного зверька. У черных крыс зараженные пулы составили 20 %, а у серых – 80 %.

Решение.

По средним данным у черных крыс обнаруживается неравенство:

[lg(1-0,15) » -0,0706] < [lg(1-0,2)/10 » -0,0097],

а у серых - равенство:

[lg(1-0,15) » -0,0706] » [lg(1-0,8)/10 » -0,0699]

Ответ: Полученные данные позволяют предполагать, что у черных крыс зараженные блохи сконцентрированы на немногих зверьках, а у серых рассеяны равномерно случайно. Это говорит о разнице в интенсивности обмена блохами между зверьками, связи их с источником инфекции и т. п.

Примечание. Такой вывод преждевременен. Если провести статистический анализ, окажется, что доверительные интервалы полученных характеристик перерываются. Это значит, что обнаруженные различия могли быть вызваны ошибкой репрезентативности - объем выборки недостаточен.

 

8. Зависимость метки пула от числа меченых элементов

Приведенные выше формулы справедливы лишь тогда, когда для метки пула достаточно, чтобы он содержал хотя бы один меченый элемент. Для ситуаций, в которых метка пула возникает лишь тогда, когда число меченых элементов, содержащихся в нем, больше единицы, нужны несколько более сложные расчеты. Общая формула связи доли не меченых пулов (Q) с долями меченых (p) и не меченых (q) элементов в генеральной совокупности такова:

Q = qh + hpq(h-1) + C2hp2q(h-2) +…+ Cjhpjq(h-j) ,                                           (13)

где 1, 2 … j – максимальное число меченых элементов в пуле, при котором он остается не меченым; остальные показатели определены выше.

Все приведенные выше формулы являются преобразованием формулы (13) для j = 0. Случаи, в которых метка пула возникает лишь тогда, когда число меченых элементов, содержащихся в нем, больше единицы, встречаются редко. По этой причине анализ производных формулы (13) здесь не приводится. Необходимо лишь обратить внимание на возможность такой ситуации. Если в каком-то случае равенство Q = qh не соблюдается, целесообразно воспользоваться формулой (13), чтобы определить, сколько меченых элементов достаточно для метки пула. Для этого значение Q сравнивают с многочленом, стоящим в правой части формулы (13), беря последовательно все большее число его членов.

 

9. Статистический анализ

Приведенные выше формулы позволяют определять лишь среднее значение доли меченых элементов и пулов. Это дает мало информации - необходимо знать доверительный интервал полученного результата. Этот интервал проще всего вычислять по следующим формулам:

Pmin =  {(M+t2/2) - t*sqr[M(N-M)/N+ t2/4]}/(N + t2)                             (14);

Pmax = {(M+t2/2) + t*sqr[M(N-M)/N+t2/4]}/(N + t2)                              (15);

где

Pmin - нижняя граница доверительного интервала доли меченых пулов;

Pmax - верхняя граница доверительного интервала доли, меченых пулов;

t - критерий Стюдента для допускаемой вероятности ошибки репрезентативности;

M – число меченых пулов;

N – число исследованных пулов.

Если первично определяются не пулы, а элементы, надо использовать формулы:

pmin =  {(m+t2/2) - t*sqr[m(n-m)/n+ t2/4]}/(n + t2)                             (16);

pmax = {(m+t2/2) + t*sqr[m(n-m)/n+t2/4]}/(n + t2)                              (17);

где

pmin -   нижняя граница доверительного интервала доли меченых особей;

pmax - верхняя граница доверительного интервала доли меченых особей;

t - критерий Стюдента для допускаемой вероятности ошибки репрезентативности;

m – число меченых особей;

n – число исследованных особей.

Формулы (14) – (17) пригодны для всех вариантов доли меченых пулов и особей, то есть дают корректный результат в любой точке их возможного диапазона от 0 до 1. Если же доля меченых пулов лежит в диапазоне от 0,25 до 0,75 (от 25% до 75%), хорошее приближение дают более простые формулы:

Pmin =  M/N - t*sqr[(MN-M2)/N3]                                                       (18);

Pmax = M/N + t*sqr[(MN-M2)/N3]                                                       (19);

где обозначения те же, что и в формулах (14) - (17).

Вычислив граничные значения доверительного интервала доли не меченых пулов (Qmin и Qmax), можно определить доверительный интервал доли меченых элементов. Для определения нижней границы доверительного интервала доли не меченых элементов надо в формулы вместо Q подставить Qnim, а для определения верхней границы - Qmax.

Пример 6. Определение доверительного интервала доли меченых элементов.

Условия. По материалу, описанному в примере 2, определить доверительный интервал доли зараженных блох с вероятностью ошибки не более 0,05.

Пояснения. Так как доля не зараженных пулов (Q = 0,875) лежит вне диапазона 0,25 ¸ 0,75, для определения доверительных границ используем формулы (18) и (19). Значение t Стюдента округленно равно 2 (для вероятности ошибки 0,05 и числа степеней свободы N-1 = 39).

Решение. По формулам (6) и (6а) определяем граничные значения доли не зараженных пулов.

Qmin = {(35+22/2) - 2*sqr[35(40-35)/40 +22/4]}/(40+22) »0,713 (округленно 71 %).

Qmax = {(35+22/2)+2*sqr[35(40-35)/40 +22/4]}/(40+22) » 0,954 (округленно 95 %).

Определяем граничные значения доли не зараженных блох.

qmin = antilg(lgQmin/n) » antilg(lg0,713/20) » antilg(-0,147/20) » antilg(-0,0073455) » 0,983

qmax = antilg(lgQmax/n) » antilg(lg0,954/20) » antilg(-0,020/20) » antilg(-0,0010226) » 0,998

Определяем граничные значения доли зараженных блох.

Максимальное значение: 1 – 0,983 = 0,017 (1,7 %)

Минимальное значение:  1 – 0,998 = 0,002 (0,2 %)

Ответ: Судя по полученным данным, в исследованной генеральной совокупности не менее 0,2 % и не более 1,7 % блох заражено возбудителем чумы (округленно, с вероятностью ошибки репрезентативности 0,05).

Аналогично решается задача по определению доверительного интервала доли меченых пулов, когда она определяется по доле меченых элементов.


Поиск дозы, вызывающей определенный эффект.

Дез. дело. 1998. N 1. С. 67-71.

 

В дезинфекционном деле требуется определять значения разных факторов, вызывающих определенный эффект: минимальные эффективные дозировки пестицидов, оптимальную частоту обработок, наилучшее количество аттрактанта в приманках, допустимые нормы внесения препаратов в определенную среду (ПДК) и т. п. Поиск этих значений целесообразно вести путем последовательного приближения. Даже среднюю летальную дозу, которую принято вычислять из уравнения "доза-смертность", можно искать последовательным приближением (а когда нет уверенности, что пробит смертности прямо пропорционален логарифму дозы, то и нужно).

Метод поиска путем последовательного приближения описан в общем виде в математических работах. В данной статье приводится формулы, адаптированные для проблем дезинфекции. Они позволяют решать соответствующие задачи минимальным числом опытов (соответственно, и с минимальными затратами).

Приведенные формулы можно использовать также при поиске эффективной дозы лекарств, максимальной переносимой нагрузки, допустимого уровня шума, оптимального ритма работы, требуемого уровня освещения и т.п.

 

Термины и обозначения.

"Фактор" - любой фактор, действие которого исследуется (например, пестицид, лекарство, рентгеновские лучи, температура, свет и т. п.).

"Доза" - определенное количество фактора. Искомая доза та, которая дает требуемый эффект. В формулах величина дозы обозначена символом "Д". (В данном тексте слово "доза" употреблено не как токсикологический термин, а в общеязыковом его смысле: определенное количество вещества, энергии и т.п. см. "Словарь русского языка". Из-во "Русский язык". М. 1981.).

Дmin  - минимальное значение искомой дозы.

Дmax  - максимальное значение искомой дозы.

Дт – наиболее вероятное точечное (среднее) значение искомой дозы.

"Опыт" - испытание одной дозы. Результат опыта трактуется альтернативно: либо требуемый эффект достигнут, либо - нет.

"Шаг" - этап работы, на котором испытывается одна доза или несколько доз одновременно. В формулах число опытов на каждом шаге обозначено символом "N".

"Точность" - отношение значений границ допустимого интервала искомой дозы (частное от деления минимального значения на максимальное). Если указано, что дозу надо определить с точностью 0.5, это значит, что она должна быть определена в интервале, минимальное значение которого превосходит максимальное не менее чем в 0.5 раз. Или (что то же самое) максимальное значение превосходит минимальное не более чем в два раза. Так, например, если установлено, что искомая доза не менее 70 и не более 140 г/м, значит точность определения равна 0.5 (70/140 = 0.5).

Теоретически значение точности может принимать значение в пределах от нуля до 1. Но предельные значения физически не существуют. Для того чтобы точность была равна нулю, необходимо, чтобы минимальное значение дозы было равно нулю, но в нулевой дозе (т. е. при отсутствии фактора) ничто действовать не может. А для того чтобы точность была равна единице, необходимо чтобы верхняя и нижняя границы допустимого интервала искомой дозы были равны, но для этого надо бесконечно большое числе опытов. В формулах величина точности обозначена символом "Т".

"Поле поиска" - интервал, внутри которого ведется поиск искомой дозы. В формулах нижняя граница этого поля обозначена символом "Аi", а верхняя - через "Яi", где индекс при символе показывает порядковый номер шага, которому соответствуют данные границы поля поиска. Размах поля поиска - отношение Аii. Границы интервала, внутри которого планируется поиск в начале работы, обозначаются как А0 и Я0.

 

Предварительные установки.

Перед началом исследований необходимо задать поле поиска (его нижнюю и верхнюю границы), точность определения искомой дозы и число шагов, за которые планируется ее найти.

Поле поиска определяется на основании каких-либо предварительных сведений. Единственное условие: ни А0, ни Я0 не должны быть равны ни 0, ни бесконечности, т.к. заведомо ясно, что при нулевом количестве фактора он не может действовать, а бесконечное количество физически не существует.

Точность задается на основании условий применения фактора. Надо только помнить, что она не может быть равна ни нулю, ни 1.

Чем точнее надо определить искомую дозу и чем шире поле поиска, тем больше придется сделать опытов - характер зависимости показан формулами, приведенными ниже.

Выбор числа шагов определяет конкретная ситуация - чем меньше шагов, тем больше опытов придется поставить. Общее правило: чем скорее надо получить результат, тем меньше шагов должно быть в испытании, а чем дороже один опыт и чем меньше времени он требует, тем больше. Минимальное число шагов - один.

Для решения предварительных вопросов полезны следующие формулы:

1) Число опытов необходимое для того, чтобы найти искомую дозу за 1 шаг:

Nmax = (logЯi-logАi)/logТ-1                                                                             (1)

(В этом случае число опытов будет максимальным.)

Если формула дает дробное значение, его надо округлить в большую сторону.

Примечание: результаты не зависят от того, какие логарифмы (с каким основанием) используются в вычислениях. По этой причине в общей части данной статьи формулы приведены с неопределенным логарифмом (log). В конкретных примерах использованы десятичные логарифмы (lg).

2) Минимальное число опытов, необходимое для определения искомой дозы:

Nmin = log(Nmax+1)/log2 = log[(logЯi-logАi)/logТ]/log2                                      (2)

(В этом случае число шагов будет максимальным, равным числу опытов.)

Если формула дает дробное значение, его надо округлить в большую сторону.

 

Ход поиска.

Поиск искомой дозы состоит из последовательных шагов испытаний, в результате которых, поле поиска сжимается до тех пор, пока его размах не станет равным или меньшим значению заданной точности (Аii = <Т). Когда такое положение достигнуто, задача решена - искомая доза найдена (она лежит в пределах от Аi до Яi).

На каждом шаге выполняется одна и та же работа:

1) Принимается решение о числе опытов, которые должны быть выполнены на данном шаге. Это число должно лежать в пределах от 1 до Nmax, вычисленного по формуле (1) для конкретных значения А и Я.

2) Определяются дозы, которые целесообразно испытать. Для этой цели служит формула:

Дk = antilog[logАi+(logЯi-logАi)*k/(N+1)]                                           (3)

где Д - доза, которую целесообразно испытать; k - номер опыта на данном шаге поиска (k - целое число от 1 до N). Прочие величины определены выше.

Если на данном шаге определяется действие только одной дозы, формула (2) приобретает вид:

Д = antilog[(logЯi+logАi)/2]                           (3а)

3) Проводятся испытания выбранных доз и оценивается, какие из них дают, а какие не дают требуемый эффект.

4) По результатам проведенных испытаний уточняется поле поиска: нижней его границей (Аi) принимается максимальная доза, не давшая требуемого эффекта (если таковой нет, эта граница принимается равной предыдущей). Аналогично, верхней его границей (Яi) принимается минимальная доза, давшая требуемый эффект (если таковой нет, эта граница принимается равной предыдущей).

Если размах уточненного поля поиска равен или меньше величины заданной точности (Аii =< Т), работа закончена – диапазон искомой дозы найдена: она лежит в пределах от Аi до Яi (то есть Дmin  = Аi , а Дmax   = Яi), если больше, надо выполнить следующий шаг с новыми значениями границ поля поиска.

 

Примеры. (Результаты расчетов округлены.)

 

Пример 1. Поиск путем постановки одного опыта на каждом шаге.

Условия: Найти дозировку инсектицида, обеспечивающую гибель не менее 99 % личинок комаров с точностью Т = 0.5. Предполагается, что она лежит в пределах от А0 = 0.1 до Я0 = 10 г/м2.

Поиск:

I шаг.

1) Решение о числе опытов на каждом шаге принято заранее: N = 1.

2) По формуле (3а) определяем дозировку для первого опыта:

Д = antilg[(lg10+lg0.1)/2] = antilg{[1+(-1)]/2} = antilg0 = 1

3) Испытываем дозировку, равную 1 г/м2. Допустим, что в опыте погибло более 99 % комаров (эффект достигнут).

4) Принимаем А1 = А0 = 0.1 г/м2, а Я1 = 1 г/м2. (Если эффект не достигнут, следует принять А1 = 1 г/м2, а Я1 = Я0 = 10 г/м2.) Поскольку размах нового поля поиска меньше требуемого значения точности (А11 = 0.1/1 = 0.1 < 0/5), продолжаем поиск.

II шаг.

1) Решение о числе опытов на каждом шаге принято заранее: N = 1.

2) По формуле (3а) определяем дозировку для второго опыта:

Д = antilg[(lg1+lg0.1)/2] = antilg[(0-1)/2] = antilg(-0.5) = 0.32

3) Испытываем дозировку 0.32 г/м2. Допустим, что погибло менее 99 % комаров (эффект не достигнут).

4) Принимаем А2 = 0.32, а Я2 = Я1 = 1. Поскольку размах нового поля поиска меньше требуемого значения точности (А22 = 0.32/1 < 0/5), продолжаем поиск.

III шаг.

1) Решение о числе опытов на каждом шаге принято заранее: N = 1.

2) По формуле (3а) определяем дозировку для третьего опыта:

Д = antilg[(lg1+lg0.32)/2] = antilg[(0-0.5)/2] = antilg(-0.25) = 0.56

3) Испытываем дозировку 0.56 г/м2.

4) Если требуемый эффект получен, искомая дозировка лежит в пределах от 0.32 до 0.56 г/м2, если нет, от 0.56 до 1 г/м2. И в том, и в другом случае работа закончена – диапазон дозировки найден. Его точность не уступает заданной (0.32/0.56 = 1/0.56 = 0.57).

Пример 2. Поиск путем постановки нескольких опытов на каждом шаге.

Условия: Найти дозу с точностью Т = 0.8 в поле от 0.01г до 100г.

Поиск:

I шаг.

1) По формуле (1) определяем максимальное число опытов:

Nmax = (lg100-lg0.01)/lg1.2-1 = [2-(-2)]/0.08-1 = 49

Чтобы определить дозу за 1 шаг потребуется 49 опытов - слишком большой объем работы.

Если на каждом шаге ставить только 1 опыт потребуется, как следует из формулы (2),

Nmin = lg(49+1)/lg2 = 1.7/0.3 = 5.7 (округленно 6)

Шесть шагов - слишком долго! Будем на каждом шаге ставить несколько опытов. Допустим, что условия позволяют одновременно ставить 4 опыта.

2) По формуле (3) определяем дозы для испытания:

Д1 = antilg[lg0.01+(lg100-lg0.01)1/(4+1)] = antilg(-1.2) = 0.06

Д2 = antilg[lg0.01+(lg100-lg0.01)2/(4+1)] = antilg(-0.4) = 0.4

Д3 = antilg[lg0.01+(lg100-lg0.01)3/(4+1)] = antilg0.4 = 2.5

Д4 = antilg[lg0.01+(lg100-lg0.01)4/(4+1)] = antilg1.2 = 15.9

3) Определяем результаты действия вычисленных дозы. Допустим, что в требуемый эффект достигнут при использовании доз 2.5 и 15.9г и не достигнут при использовании остальных.

4) Принимаем А1 = 0.4г (максимальная доза не давшая требуемого эффекта), а Я1 = 2.5г (минимальная доза давшая требуемый эффект). Т.к. размах нового поля поиска (А11 = 0.4/2.5 = 0.16) меньше требуемого значения точности (Т = 0.8), продолжаем поиск.

II шаг.

1) По формуле (1) определяем максимальное число опытов:

Nmax = (lg2.5-lg0.4)/lg1.2-1 = [0.40-(-0.40)]/0.08-1 = 9

Ответ можно найти за 1 шаг, поставив одновременно 9 опытов, но условия, позволяют провести только четыре.

2) По формуле (3) определяем дозы для испытания:

Д1 = antilg[lg0.4+(lg2.5-lg0.4)1/(4+1)] = antilg(-0.24) = 0.58

Д2 = antilg[lg0.4+(lg2.5-lg0.4)2/(4+1)] = antilg(-0.08) = 0.83

Д3 = antilg[lg0.4+(lg2.5-lg0.4)3/(4+1)] = antilg0.08 = 1.20

Д4 = antilg[lg0.4+(lg2.5-lg0.4)4/(4+1)] = antilg0.24 = 1.73

3) Испытываем вычисленные дозы. Допустим, что требуемый эффект не был достигнут при использовании всех доз.

4) Принимаем  А2 = 1.73, а Я2 = Я1 = 2.5. Т.к. размах нового поля поиска (А22 = 1.73/2.5 = 0.69) превосходит требуемое значение точности (Т = 0.8), продолжаем поиск.

III шаг.

1) По формуле (1) определяем максимальное число опытов:

Nmax = (lg2.5-lg1.73)/lg1.2-1 = [0.40-0.24)]/0.08-1 = 1

Для определения искомой дозы достаточно одного опыта.

2) По формуле (3а) определяем дозу для опыта:

Д = antilg[(lg2,5+lg1.73)/2] = antilg0.32 = 2.08

3) Испытываем дозу, равную 2.08г.

4) Если испытание дало требуемый эффект, искомая доза лежит в пределах от 1.73 до 2.08г, если нет - в пределах от 2.08 до 2.5г. И в том, и в другом случае диапазон найден с точностью, не уступающей заданной (Т = 1.73/2.08 = 2.08/2.5 = 0.83).

Пример 3. Поиск за 1 шаг.

Условия те же, что и в примере 1, но искомую дозировку надо определить за 1 шаг (время не ждет).

Поиск:

1) По формуле (1) определяем необходимое число опытов:

N = (lgЯ0-lgА0)/lgТ-1 = (lg10-lg0.1)/lg2-1 = 5.6

Поскольку число опытов не может быть дробным, принимаем N = 6.

2) По формуле (3) определяем дозировки для испытания:

Д1 = antilg[lg0.1+(lg10-lg0.1)1/7] = antilg(-0.714) = 0.19

Д2 = antilg[lg0.1+(lg10-lg0.1)2/7] = antilg(-0.429) = 0.37

     .........................

Д6 = antilg[lg0.1+(lg10-lg0.1)6/7] = antilg0.714 = 5.18

3) Испытываем вычисленные дозировки.

4) Какие бы результаты не были получены, диапазон значения искомой дозировки найден с заданной точностью.

Примечание. В данном примере испытание проведено за 1 шаг, поэтому для определения искомой величины потребовалось 6 опытов. Пошаговый поиск в тех же условиях позволил найти ее всего за 3 опыта (см. пример 1). Экономия в 2 раза. Но она может быть и большей. Так, если задачу из примера 2 решать за 1 шаг, придется выполнить 49 опытов, а если на каждом шаге испытывать одну дозу - только 6 опытов. Чем шире поле поиска и чем ниже значение показателя точности, тем выгоднее вести поиск путем постановки одного опыта на каждом шаге.

Пример 4. Поиск средней летальной дозы (LD-50).

Условия: Найти среднюю летальную дозу препарата (т.е. дозу, обеспечивающую гибель 50 % особей). Требуемая точность (Т) равна 0.56. Предполагается, что эта доза лежит в пределах от А0 = 0.001 до Я0 = 0.100 мг/кг.

Поиск:

По формуле (1) определяем максимальное число опытов:

Nmax = (lg0.100-lg0.001)/lg1.8-1 = [-1-(-3)]/0.255-1 = 7

Чтобы определить дозу за 1 шаг потребуется 7 опытов.

Если на каждом шаге ставить только 1 опыт потребуется, как следует из формулы (2),

Nmin = lg(7+1)/lg2 = 0.9/0.3 = 3 шага.

Допустим, что нам удобнее поставить 3 опыта последовательно, т.е. сделать 3 шага по 1 опыту на каждом.

I шаг.

1) Решение о числе опытов на каждом шаге принято заранее: N = 1.

2) По формуле (3а) определяем дозу для первого испытания:

Д = antilg[(lgЯ+lgА)/2] = antilg[(lg0.100+lg0.001)/2] = antilg(-2) = 0.010.

3) Испытываем дозу 0.010 мг/кг. Допустим, что в опыте погибло менее 50 % особей.

4) Принимаем А1 = 0.01, а Я1 = 0.10 мг/кг. (Если бы погибло более 50 %, следовало принять А1 = 0.001, а Я1 = 0.010 мг/кг.) Поскольку размах нового поля поиска (0.01/0.10 = 0.1) меньше требуемой точности, продолжаем поиск.

II шаг.

1) Решение о числе опытов на каждом шаге принято заранее: N = 1.

2) По формуле (3а) определяем дозу для испытания:

Д = antilg[(lg0.01+lg0.10)/2] = antilg[-2+(-1)/2] = 0.032.

3) Испытываем дозу 0.032 мг/кг. Допустим, что она вызвала гибель более 50 % животных.

4) Принимаем А2 = А1 = 0.010 мг, а Я2 = 0.032 мг. Поскольку размах нового поля поиска (0.010/0.032 = 0.31) меньше требуемой точности, продолжаем поиск.

III шаг.

1) Решение о числе опытов на каждом шаге принято заранее: N = 1.

2) По формуле (3а) определяем дозу для испытания:

Д = antilg[(lg0.010+lg0.032)/2] = antilg[(-2+(-1.495)/2] = 0.018.

3) Испытываем дозу, равную 0.018 мг/кг.

4) Если от испытанной дозы погибло более 50 % животных, LD-50 лежит в пределах от 0.018 до 0.032 мг/кг, если менее - от 0.010 до 0.018 мг/кг. И в том, и в другом случае диапазон искомой дозы найден с заданной точностью (0.018/0.032 = 0.010/0.018 = 0.56).

Пример 5. Поиск максимальной переносимой дозы.

Условия: Найти такую дозу препарата, которая не вызывает гибели более 5 % крыс. Требуемая точность (Т) – 0.5. Искомая доза лежит в пределах от 0.01 до 0.10 мг/кг.

По формуле (1) определяем максимальное число опытов:

Nmax = (lg0.10-lg0.01)/lg2-1 = [-1-(-2)]/0.3-1 = 2.3.

Чтобы определить дозу за 1 шаг потребуется 3 опыта.

Если на каждом шаге ставить только 1 опыт потребуется, как следует из формулы (2),

Nmin = lg(3+1)/lg2 = 0.6/0.3 = 2 шага.

В подобных случаях обычно ставят все опыты одновременно (решают задачу за один шаг), т.к. увеличение числа шагов (тем самым, удлинение поиска в два раза) экономит только один опыт. Допустим, однако, что крысы очень дороги и экономия оправдывает потерю времени; ищем за 2 шага.

Поиск:

I шаг.

1) Решение о числе опытов на каждом шаге принято заранее: N = 1.

2) По формуле (3а) определяем дозу первого опыта:

Д = antilg[(lg0.10+lg0.01)/2] = antilg(-1.5) = 0.03.

3) Испытываем дозу 0.03 мг/кг. Допустим, что от нее погибло более 5 % крыс.

4) Принимаем А1 = 0.01 мг/кг,  а Я1 = 0.03 мг/кг. Поскольку размах нового поля поиска (0.01/0.03 < 0.5) меньше требуемой точности, продолжаем поиск.

II шаг.

1) Решение о числе опытов на каждом шаге принято заранее: N = 1.

2) По формуле (3а) определяем дозу второго опыта:

Д = antilg[(lg0.03+lg0.01)/2] = antilg(-1.76) = 0.017.

3) Испытываем дозу 0.017 мг/кг.

4) Если в опыте погибло более 5 % крыс, искомая доза лежит в пределах от 0.010 до 0.017 мг/кг, если менее - от 0.017 до 0.030 мг/кг. И в том, и в другом случае диапазон искомой дозы найден (точность не уступает заданной).

Все предыдущие построения относились к тому случаю, когда нет сомнений, что искомая доза лежит внутри первоначально заданного поля поиска. Если такой уверенности нет, поступать надо следующим образом. Когда в ходе работы окажется, что размах очередного поля поиска достиг заданной точности, а поле это ограничено одним из первоначально заданных пределов (А0 или Я0), это сигнал того, что искомая доза может лежать вне найденного интервала. В этом случае целесообразно соответствующий предел изменить по крайней мере на величину заданной точности и продолжить поиск в новых границах. Так, если бы в первом примере оказалось, что искомая дозировка лежит в диапазоне от 5.6 до 10 г/м2, целесообразно не прекращать поиск, а продолжить его в диапазоне от 5.6 до 20 г/м2. Впрочем, опытный исследователь может обнаружить неадекватность первоначально заданного поля поиска после первого же шага и скорректировать его, расширив или сузив в нужную сторону. Возможность использования предлагаемых формул от этого не изменится.

 

Точечное значение дозы, вызывающей определенный эффект.

До сих пор речь шла о поиске диапазона, внутри которого лежит искомая доза. Но описывать дозу диапазоном, в котором она находится, удобно далеко не всегда. Кроме диапазона надо указывать наиболее вероятное её точечное значение. Сделать это легко.

Когда найден (с требуемой точностью) диапазон, внутри которого лежит искомая доза, то её наиболее вероятное точечное значение определяется по следующей формуле:

Дт  = antilog[(log Дmin  +log Дmax  )/2]                                         (4)

Пример 6. Определение точечного значения дозы.

Условия: Найти наиболее вероятное точечное значение дозы препарата, которая не вызывает гибели более 5 % крыс, если известно, что она лежит в диапазоне от 0.010 мг/кг (Дmin ) до 0.017 мг/кг (Дmax).

Вычисления (результаты округлены):

Дт  =antilg[(lg0.010+lg0.017)/2]=antilg[(-2.00 + -1.77)/2]=antilg(-1.885)=0.013.

Ответ: наиболее вероятное точечное значение дозы препарата, которая не вызывает гибели более 5 % крыс, равно 0.013 мг/кг.

 

Резюме.

В статье описаны формулы, позволяющие определять значение фактора, обеспечивающего заданный эффект за минимальное число опытов.

 

Rasnitsyn S.P.

The seach of effective dose.

The formules to determinate the definite effectivness of the factor's value with minimum experiments is discribed in the article.


Оценка влияния диагностических и лечебных мероприятий на риск передачи возбудителей гемотрансмиссивных инфекций.

Врач. 2004. №5. С. 34-37.

 

Кровь донора может не только спасать жизнь и здоровье реципиента, но и приводить к обратному результату. Одна из причин нежелательных последствий – заражение реципиентов возбудителями болезней, носителями которых могут быть доноры. Разработан ряд мероприятий, направленных на предотвращение передачи возбудителей от донора к реципиенту. Но ни одно из них по отдельности, ни какое их сочетание не гарантирует абсолютной защиты. Они снижают вероятность передачи возбудителей, но риск заражения остаётся. Неизбежность риска вызвана тем, что в принципе не может быть абсолютно надёжных методов и людей, не совершающих ошибки. Об этом свидетельствует и практика. Так, обследование клиники показало, что в 2002 г. от 0,3 до 16,6 % пациентов заражено гепатитом "В" (таб. 1). И это, несмотря на специальные профилактические мероприятия. То, что заражение связано именно с переливанием крови, следует из самих цифр. Зараженность доноров гепатитом "В" в этот год и предшествующие 5 лет держалась на уровне 1,2 - 1,5%. Благодаря принятым мерам те больные, которым кровь переливали редко (пациенты общей хирургии), были заражены реже доноров. Но те, кто нуждался в неоднократном переливании, при тех же мерах по обеспечению безопасности, были заражены чаще доноров. И чем больше переливаний, тем чаще зараженность. Подобная ситуация описана и в литературе.

 

Таблица 1. Зараженность пациентов клиники гепатитом "В" в 2002 г.

Клиническое отделение

Число обследованных

Число зараженных

Доля зараженных (%)

Общая хирургия

5333

18

0,3

Акушерство и гинекология

5450

80

1,5

Кардиохирургия

979

20

2,0

Пулмонология

1935

53

2,7

Гемодиализ

434

72

16,6

 

Эффективность профилактических мероприятий зависит от нескольких факторов. Поэтому выбрать лучшее (и, тем более, сочетание) «на глазок» не так-то уж просто. Тем более не просто предвидеть результаты в их количественном выражении.

Несмотря на всю важность данной проблемы в медицинской литературе до сих пор не было публикаций, описывающих методы расчёта риска заражения реципиентов от доноров и эффективности различных профилактических мероприятий (по крайней мере, найти их не удалось).

Цель данной работы – восполнить указанный пробел. В ней описаны методы, позволяющие дать количественный прогноз эффективности разных мероприятий и их сочетаний. Они пригодны для любых контингентов и любых возбудителей. Использование их облегчит выбор средств защиты в каждой конкретной ситуации.

 

1. Термины и обозначения.

Прежде всего необходимо пояснить использование терминов "доля" и "вероятность". Эти, разные по смыслу значения, имеют в данной работе одно и то же количественное выражение. Если известна вероятность какого-то события, то доля проявления его в серии повторностей в среднем будет равна этой вероятности. И, обратно, если известна доля проявления какого-то события в серии повторностей, то вероятность его наличия в конкретном случае в среднем равна этой доле. Например, если вычислена вероятность заражения одного реципиента, то средняя доля зараженных реципиентов, находящихся в тех же условиях, будет численно равна этой вероятности. В обратном случае, если, например, известна (или предполагается) доля зараженных доноров, то вероятность того, что конкретный донор окажется зараженным, численно равна этой доле.

«Риск заражения» - Вероятность заражения реципиента кровью донора. Благодаря нашим мероприятиям риск заражения изменяется. Его значение в исходном состоянии (до проведения мероприятий) обозначается "R", а то, что мы в праве ожидать после проведения мероприятий - "r".

«Мероприятие» - любое действие, направленное на предотвращение заражения реципиентов через кровь доноров.

«Порция крови» - кровь одного донора, которая вводится одному реципиенту за один раз.

«Не заразная кровь» - порция крови, не способная заразить реципиента. Альтернатива - «Заразная кровь» - порция крови, способная заразить реципиента. Исходная доля заразных порций крови обозначается "zd".

«Не заразный донор" – донор, кровь которого не может заразить реципиента. Альтернатива - «Заразный донор" – донор, кровь которого может заразить реципиента.

«Лечение» - мероприятие, направленное на ликвидацию возбудителя у людей, но не предохраняющее их от повторного заражения. В силу ряда причин лечение не всегда охватывает весь контингент, подлежащий лечению, и не всегда приводит к требуемому результату. Поэтому мы различаем следующие варианты.

«Леченый донор» - донор, подвергнутый лечению. Альтернатива - «Не леченый донор» - донор, не подвергнутый лечению. Вероятность того, что донор прошел лечение обозначается «Ld», что не прошел - «ld».

«Вылеченный донор» - донор, который в результате лечения стал не заразным. Альтернатива – «Не вылеченный донор» - донор, который в результате лечения остался заразным. Вероятность того, что лечение донора не дало результата обозначается «bd».

«Вакцинация» - мероприятие, направленное на предотвращение заражения. В силу ряда причин вакцинация не всегда охватывает весь контингент, подлежащий вакцинации, и не всегда приводит к требуемому результату. Поэтому мы различаем следующие варианты.

«Вакцинированный реципиент» - реципиент, подвергнутый вакцинации. Альтернатива – «Не вакцинированный реципиент» - реципиент, не подвергнутый вакцинации. Вероятность того, что реципиент был вакцинирован обозначается «Vr», что не был - «vr».

«Вакцинированный донор» - донор, подвергнутый вакцинации. Альтернатива - «Не вакцинированный донор» - донор, не подвергнутый вакцинации. Вероятность того, что донор был вакцинирован обозначается «Vd», что не был - «vd».

«Иммунный реципиент" – реципиент, у которого в результате вакцинации выработан иммунитет. Альтернатива - «Восприимчивый реципиент" – реципиент, у которого в результате вакцинации не выработан иммунитет. Вероятность того, что иммунитет у реципиента не выработан, обозначается "wr".

«Иммунный донор» - донор, у которого в результате вакцинации выработан иммунитет. Альтернатива - «Не иммунный донор» - донор, у которого в результате вакцинации иммунитет не выработан. Вероятность того, что иммунитет у донора не выработан, обозначается «wd».

«Сертификация крови» - мероприятие, направленное выбраковку заразной крови. В настоящее время разрабатываются методы обеззараживания крови. В отношении риска заражения они идентичны выбраковке и рассматриваются как сертификация. В силу ряда причин сертификация не всегда охватывает все порции крови и не всегда приводит к требуемому результату. Поэтому мы различаем следующие варианты.

«Сертифицированная кровь» - порция крови, прошедшая сертификацию. Альтернатива – «Не сертифицированная кровь» - порция крови, не прошедшая сертификацию. Вероятность того, что определённая порция крови прошла сертификацию обозначается «M», что не прошла - «m». Вероятность того, что определённая порция крови, прошедшая сертификацию, осталась заразной обозначается «c».

«Эффективность мероприятия» - в данном случае этим термином мы называем величину снижения риска заражения реципиента, обеспеченную профилактическими мероприятиями. Эффективность мероприятий обозначается символом "E". Она измеряется отношением риска заражения реципиента при отсутствии профилактических мероприятий, к риску его заражения при их проведении, т. е. E = R/r.

 

2. Условия.

В одной статье нет места для того, чтобы учесть все возможные ситуации. Мы принимаем следующие условия, которые, как нам кажется, встречаются чаще всего.

1. В исходной ситуации известна (или предполагается) величина исходной доли заразных порций крови и, отсюда, вероятность того, что конкретная порция является заразной. Поскольку доля заразных порций крови известна далеко не всегда, в качестве достаточного приближения можно считать её равной доле заразных доноров. Если таких данных нет, количественное определение риска заражения невозможно.

2. Все реципиенты являются здоровыми (не зараженными) и не иммунными (восприимчивыми). Оно и понятно. Для зараженных и иммунных реципиентов риска заражения не существует. Для первых – т. к. они и так заражены, для вторых – в силу их иммунитета.

3. По определению, вливание заразной крови всегда вызывает заражение реципиента.

4. Вливание крови иммунного донора не иммунизирует и не лечит реципиента. Конечно, вливание иммунной крови повышает сопротивляемость организма реципиента, но, как правило, не на столько, чтобы полностью предотвратить возможность заражения.

5. Распределение переливаемой крови между реципиентами не зависит от иммунитета реципиента и наличия в переливаемой крови возбудителя.

 

3. Риск заражения при отсутствии мероприятий.

Если не принимать никаких мер, то риск заражения реципиента (вероятность получения возбудителя) при переливании ему одной порции крови равен вероятности того, что эта порция заразна. А вероятность того, что конкретная порция крови заразна, равна доле заразных порций крови или (что адекватно, но менее точно) доле заразных доноров. Отсюда

R = zd                                                                                                                           (1).

Эта формула показывает вероятность заражения реципиента при переливании ему одной порции крови донора. При неоднократном переливании (т. е. при использовании нескольких порций крови) вероятность заражения возрастает. Она становится равной

Rn = 1 - (1 - zd )n                                                                     (1a),

где n – число перелитых порций крови.

Даже при малой доле зараженных порций крови многочисленные повторные переливания могут привести к заражению реципиентов. Так, например, если зараженность порций крови равна 0,1 (10%), то лишь трёхкратное её переливание создаст риск заражения, равный, округлённо, 0,27 (27%).

Rn = 1 - (1 - zd )n  = 1 – (1 – 0.1)3  = 1 – 0.729 = 0.271.

Формула (1a) позволяет определять не только риск заражения. С её помощью можно получить и другие данные. Так, по материалам таблицы 1 можно определить соотношение числа порций крови, перелитых разным пациентам. Поскольку все они одной клиники, набор доноров и меры по профилактике заражения кровью были для них скорее всего одними и теми же. Судя по тому, что пациенты общей хирургии заражены вирусом гепатита “B” менее других, кровь им переливали реже всех. Если принять это значение за единицу, риск заражения в данной клинике в данный период был равен 0,003. Пациенты гемодиализа были заражены в доле, равной 0,166. Определяем относительное количество порций крови, перелитой этим пациентам.

n = lg (1 – 0.834) / lg (1 – 0.997) = 60.

Это значит, что пациентам гемодиализа кровь переливали в среднем в 60 раз чаще, чем пациентам общей хирургии. Точно так же можно определить этот показатель и для пациентов других отделений.

 

4. Риск заражения при проведении профилактических мероприятий и оценка их эффективности.

Все мероприятия, использующиеся в настоящее время для профилактики заражения кровью доноров, сводятся к воздействию на доноров, на реципиентов и на кровь, предназначенную для переливания. Доноров можно иммунизировать и лечить. Правда, как правило, не все переболевшие допускаются к донорству. Это - те, у которых были возбудители, способные к длительному скрытому сохранению в организме. Но в экстренных случаях это правило приходится нарушать. И, кроме того, разрабатываются методы обеззараживания крови. Когда и если они войдут в практику, то можно будет использовать и таких доноров. Так что, лечение доноров не стоит сбрасывать со счетов.

Реципиентов имеет смысл лишь иммунизировать. Лечить их не надо, ведь они, по определению, исходно здоровы. Нельзя, конечно, исключить ситуации, когда придётся лечить и реципиентов. Такая потребность может возникнуть в случае переливания заразной крови (или при подозрении, что это произошло). Но такое лечение не имеет отношения к определению риска заражения и, потому, здесь не рассматривается.

Воздействие на переливаемую кровь ("сертификация") включает в себя выбраковку заразных порций и (или) обеззараживание её.

Как уже указывалось выше, ни одно из мероприятий (и, потом, ни какое их сочетание) не гарантирует абсолютной защиты. Риск заражения остаётся.

При использовании всех мероприятий в комплексе риск заражения реципиента равен вероятности того, что совпадут все неблагоприятные возможности. Т. е., донор окажется исходно зараженным, не вакцинированным и не леченным (или вакцинированным и леченным, но безуспешно). При этом переливаемая кровь не будет подвергнута сертификации, а если будет, то возбудитель не будет обнаружен и уничтожен. В этом случае численное значение риска заражения равно произведению вероятностей каждого из указанных событий. Т. е.

r = zd *(m+M*c)*(vd+Vd*wd)*(vr+Vr*wr)*(ld+Ld*bd)                      (2)

А показатель конкретный эффективность проведённых мероприятий:

Ek = R /r=1/(m+M*c)*(vd+Vd*wd)*(vr+Vr*wr)*(ld+Ld*bd)              (2a)

Комплекс может состоять не из всех возможных, а лишь нескольких мероприятий или всего лишь одного из них. Для вычисления риска заражения и эффективности не полного набора мероприятий годятся те же формулы (2) и (2a), но в преобразованном виде. Отсутствующие мероприятия надо считать заведомо неуспешными (т. е. вероятность неуспеха равной единице). При этом соответствующая часть каждой формулы (то, что стоит в соответствующей паре скобок) станет равным единице и не будет влиять на конечный результат.

Так, например, если очистка крови не проводится, она, конечно, полностью безуспешна, т. е. вероятность сохранения возбудителя равна единице (с = 1). В этом случае М*с = 1 и, поскольку M+m = 1, всё выражение в первых скобках (m + M*c) = 1. Соответственно, риск заражения в такой ситуации будет:

r = zd*1*(vd+Vd*wd)*(vr+Vr*wr)*(ld+Ld*bd).

Аналогично изменится и формула эффективности.

Таким способом, преобразуя формулы (2) и (2a), легко оценить риск заражения и эффективность любого набора мероприятий.

 

5. Эффективность отдельных мероприятий.

Преобразованием формул (2) и (2a) легко вывести риск заражения при использовании только одного мероприятия и его эффективность.

Для только лишь сертификации крови получим:

Риск заражения - r = zd * (m + M*c)

Показатель эффективности - E = 1 /(m + M*c) 

 

Для только лишь вакцинации доноров:

Риск заражения - r = zd * (vd + Vd*wd)

Показатель эффективности - E = 1/( vd + Vd*wd)

 

Для только лишь вакцинации реципиентов:

Риск заражения - r = zd * ( vr + Vr*wr)

Показатель эффективности - E = 1 /( vd + Vr*wr)

 

Для только лишь лечения доноров:

Риск заражения - r = zd * (ld + Ld*bd)

Показатель эффективности - E = 1 /(ld + Ld*bd) 

 

Рассматривая предложенные формулы, надо отметить чисто математические закономерности, которые из них следуют.

Первая. Если исходный риск заражения отсутствует (R = 0), то эффективность любых мероприятий равна нулю (R стоит в числителе). Оно и понятно, в такой ситуации мероприятия не нужны.

Вторая. Если какое-то мероприятие полностью успешно (обеспечивает 100 процентный охват и 100 процентное обеззараживание), то можно ограничится им одним. В этом случае в формуле (2) то, что стоит в соответствующей паре скобок, станет равным нулю, и произведение всех сомножителей (какими бы они ни были) обратится в ноль. Риск равен нулю. Эти закономерности полностью соответствуют здравому смыслу, что является важнейшим аргументом адекватности предложенных способов расчета.

 

6. Выбор мероприятий.

Формулы эффективности разных мероприятий аналогичны. Во всех случаях эффективность зависит только от полноты охвата и успеха соответствующего мероприятия. Значит, при выборе надо ориентироваться на них. Лучший метод тот, который позволяет охватить "материал" наиболее полно и дать наибольший процент обеззараживания.

Тот факт, что решающих параметров два, позволяет в какой-то степени компенсировать недостаток одного повышением другого. Однако, при низком значении одного из параметров мало смысла гоняться за полнотой другого. Так, например, если вакцинация обеспечивает только 70% успеха, охватите ли Вы весь контингент или только 99%, результат почти не изменится. В первом случае не иммунных будет 30.0%, во втором - 30.7%. Разница всего в 1.02 раза (на 2%). А сил для того, чтобы "поймать" последнего, приходится тратить, порой, не меньше, чем на всех других вместе взятых. Иное дело когда вакцинация обеспечивает, например, 99% успеха. В этом случае полный охват оставит только 1% не иммунных, а 99 процентный - 2%. Разница в 2 раза!

Сравнение условий работы, говорит о том, что наиболее надёжна сертификация крови. Это мероприятие гарантирует наименьшую вероятность ошибок: пропуск порций и возбудителей в них. Поэтому основным методом профилактики должна быть именно сертификация. (Врачи это давно поняли. Наши расчёты подтверждают правильность выбора.) На втором месте стоит вакцинация реципиентов. Хотя успех этого мероприятия для доноров и реципиентов одинаков, охватить последних проще. На третье место надо поставить вакцинацию доноров. Она предпочтительней лечения и простотой операции (что позволяет добиться более полного охвата), и, что самое главное, длительностью действия.

Соображения, приведённые выше, относятся к выбору не только отдельных мероприятий, но и их комплекса. В него (по мере надобности и возможности) надо включать наилучшие из отдельных.

При проведении мероприятий по защите реципиентов от заражения кровью доноров надо учитывать не только их эффективность. Не меньшее значение имеют и другие соображения. В первую очередь этические. Если ограничиться только воздействием на реципиентов или на переливаемую кровь, зараженность доноров не изменится. Если же доноры будут вылечены и иммунизированы, мы поможем и им. При этом, конечно, снизится и риск заражения реципиентов.

Нет смысла надеяться, что иммунизация доноров даст экономический результат. Конечно, если бы это мероприятие охватило их всех и успех его был бы полным, отпала бы необходимость сертификации крови и иммунизации реципиентов. Но добиться таких результатов невозможно не только практически, но и теоретически. А раз так, сколько бы доноров мы не иммунизировали, какие вакцины ни применяли, сертификацию крови отменять нельзя.

 

7. Гарантированный результат.

Все приведённые выше формулы основаны на выборочных или предположительных данных. Поэтому фактический результат может не совпадать с расчётным. Вернее, такое совпадение возможно лишь в редких случаях. Для оценки максимально возможного риска заражения в формулы надо подставить пессимальные значения параметров. А именно, наиболее высокую (из возможных) долю зараженных доноров, наихудшие возможности охвата и обеззараживания крови и т.д. Таким способом мы получим значение гарантированного риска. Т. е. такое, хуже которого быть не может.

 

Заключение.

При наличии сведений о зараженности доноров возбудителями болезней или (что лучше) зараженности донорской крови, есть возможность рассчитать риск заражения реципиентов. При наличии сведений о полноте охвата и результативности профилактических мероприятий, есть возможность рассчитать их эффективность. Соответствующие формулы приведены в тексте.


Оценка выживаемости сочленов группы по изменению их доли.

РЭТ инфо. 2000. N 1. С. 53-55.

 

Хорошо известно, что реакция животных и растений на различные воздействия (в том числе и на средства борьбы) зависит от их видовых, популяционных и индивидуальных особенностей (список некоторых работ на эту тему приведен в конце статьи). Знание чувствительности разных объектов к разным факторам  необходимо и для теории, и для практики биологии (в том числе для дезинсекции и дератизации). Особенно важно знать реакцию целевых объектов в естественных условиях, при проведении практических мероприятий. Но именно тут мы сталкиваемся с трудностями, которые легко обойти в лаборатории. Дело в том, что в поле мероприятия всегда направлены на группу разнородных особей, т. е. особей разного пола, возраста, физиологического состояния, а, порой, и на представителей разных видов. При этом лишь в редких случаях имеется возможность прямой оценки выживаемости каждого сочлена группы. Обычно определяется лишь соотношение этих сочленов и численность группы, концентрация особей или их обилие[1].

Например, после обработки водоема, заселенного личинками комаров, можно установить, как изменилась их концентрация и доля особей разных видов и стадий. Или после хранения препарата, состоящего из смеси бактерий разных видов, определить изменение их численности удается не всегда, но можно обнаружить, как изменилось их соотношение. Если в приведенных примерах нас интересует чувствительность к обработке личинок каждого вида и каждой стадий и устойчивость к хранению каждого вида бактерий, то ограничение анализа только лишь приведенными показателями не достаточно: они свидетельствуют о том, что разница между видами и стадиями имеется, но не дают возможности определить ее величину. В данной статье описан метод, который позволяет это сделать.

 

Термины и обозначения.

"Группа" - набор особей, подвергнутых совместному воздействию. Обычно это – население одного участка территории, одного водоема, одного здания и т. п. Воздействие может быть губительным, стимулирующим или никаким - в качестве такового выступает время. Группа состоит из сочленов (компонентов), которых мы различаем по тем или иным характеристикам, влияние которых на выживание требуется определить (видовая принадлежность, пол, возраст, строение генома или любой другой показатель). Каждый сочлен группы имеет свое имя (для простоты в данной статье оно обозначается буквами "A", "B", "C" и т.д.). Группа может состоять из двух сочленов (двухкомпонентные группы) или большего (любого) их числа (многокомпонентные группы). Однокомпонентные группы не рассматриваются - с ними все ясно.

"Численность" - число особей, за которыми ведется наблюдение. Численность всей группы обозначатся "N" (без индекса), а отдельных сочленов - "Na", "Nb", "Nc" и т.д. соответственно именам сочленов. Чтобы отличить численность до и после воздействия, первая будет иметь перед знаком “N” букву "д" (до), а вторая - "п" (после). Например, число особей вида "I" до обработки инсектицидом - дNi, а после обработки - пNi. (С равным успехом вместо показателя численности могут использоваться показатели концентрации особей или их обилия; они обозначаются тем же символом “N”.)

"Доля" - относительное число особей определенного сочлена ко всем особям группы. Доля обозначается: "Дa", "Дb", "Дс" и т.д., соответственно именам сочленов. Т.е. Дi = Ni/N. Чтобы отличить исходную (до воздействия) и конечную (после воздействия) доли, первая будет иметь букву "д", а вторая – букву "п" перед ними. Например, доля особей вида "I" до обработки инсектицидом - дДi, а после обработки - пДi.

"Абсолютная выживаемость" (короче - "выживаемость") - доля особей определенного сочлена, оставшихся после воздействия. Обозначается: "Va", "Vb", "Vс" и т.д., соответственно именам сочленов; выживаемость всей группы - "V" (без индекса). Т.е. Vi = пNi/дNi. Поскольку воздействие может и угнетать численность, и стимулировать ее, выживаемость может быть и меньше, и больше единицы.

"Относительная выживаемость" - отношение выживаемости одного сочлена к выживаемости другого. Обозначение: "Кij",где "i" и " j" - имена сравниваемых сочленов. Т.е. Кij = Vi/Vj и Кji = Vj/Vi, отсюда Кji = 1/Кij. Пример: В группе из двух видов тараканов (виды "A" и "B") после обработки инсектицидом число особей вида "A" сократилось в 2 раза (Va = 0.5), а особей "B" в 10 раз (Vb = 0.1). В этом случае относительная выживаемость "A" к "B" равна Кab = Va/Vb = 0.5/0.1 = 5 и, соответственно, Kba = 0.1/0.5 = 0.2. В многокомпонентной группе относительная выживаемость одного сочлена ко всем остальным вместе взятым обозначается - "Кis".

 

Методы расчета.

 

Двухкомпонентные группы.

Если известны исходная и конечная доли сочленов, относительную выживаемость можно определить по формуле:

Кij = пДi(1-дДi)/дДi/(1-пДi)                                  (1)

В двухкомпонентной группе сумма долей обоих сочленов равна единице (Дi+Дj = 1), следовательно 1-Дi = Дj. Подставив это равенство в формулу (1), получаем:

Кij = пДi*дДj/дДi/пДj                                          (1а)

Поскольку относительная выживаемость сочленов двухкомпонентной группы величины обратные

Кji = 1/Кij                                                  (2)

и Кij = 1/ Кji                                               (2а)

На рис. 1 приведена номограмма, которая позволяет определять относительную выживаемость в тех случаях, когда доли сочленов не выходят за пределы диапазона 0.05 - 0.95, а относительная выживаемость не ниже 0.1 и не выше 10. Для этого на оси ординат надо отыскать точку, соответствующую исходной доле сочлена “I” (дДi), восстановить из нее перпендикуляр до пересечения с кривой, соответствующей конечной доле этого же сочлена (пДi), и на оси абсцисс (на уровне этого пересечения) прочитать значение относительной выживаемости (Кij).

Из рисунка и приведенных формул следует:

1. Если исходная доля одного из сочленов равна нулю, расчеты невозможны - на ноль делить нельзя (т.е. в однокомпонентной группе нет возможности определить относительную выживаемость).

2. По мере приближения конечной доли одного из сочленов к нулю, его относительная выживаемость приближается к нулю, а относительная выживаемость другого сочлена - к бесконечности.

3. Если исходная и конечная доли одного из сочленов равны, относительная выживаемость равна единице - сравниваемые сочлены одинаково реагируют на воздействие.

Эти выводы само собой разумеются и служат лишь для проверки корректности формул.

А вот вывод, который не всегда учитывается: величина относительной выживаемости зависит не только от разницы исходной и конечной долей, но и от их абсолютного значения. Так, например, если доля вида "А" увеличилась на 0.25 с 0.1 до 0.35 (другими словами, с 10% до 35%), его выживаемость превосходит таковую другого вида, находившегося в той же группе, в 5 раз; если с 0.5 до 0.75 - в 3 раза, а если с 0.7 до 0.95 - в 8 раз.

Когда известна общая выживаемость группы, то с помощью показателя относительной выживаемости, можно вычислить абсолютную выживаемость каждого сочлена. Для этого служит формула:

Vi = V/[дДi+(1-дДi)/Kij]                                      (3)

Поскольку 1-Дi = Дj, эту формулу можно переписать как:

Vi = V/(дДi+дДj/Kij)                                          (3а)

 

Многокомпонентные группы

Процессы, происходящие в многокомпонентных группах, анализируются путем сведения их к двухкомпонентным. Это достигается тем, что все сочлены, кроме избранного, рассматриваются как единый сочлен (его обозначение "S"). И так, отбирая один сочлен за другим, можно определить выживаемость каждого.

 

Примеры.

Пример 1. Определение относительной выживаемости в двухкомпонентной группе.

Условия: Требуется сравнить выживаемость прусаков и черных тараканов. Известно, что в сборах предыдущих лет прусак составлял 30%, а теперь на его долю приходится 80%.

Обозначения: назовем прусаков сочленом "А", а черных тараканов - "В". Тогда дДa = 0.3, пДa = 0,8, соответственно дДb = 0.7 и пДb = 0,2.

Решение: По формуле (1) имеем:

Кab = пДa(1-дДa)/дДa/(1-пДa) = 0.8(1-0.3)/0.3/(1-0.8) = 9.3(3)

То же дает формула (1а):

Кab = пДa*дДb/дДa/пДb = 0.80.7/0.3/0.2 = 9.3(3)

(Тот же результат можно было найти по номограмме.)

Вывод: В конкретном месте в конкретные годы выживаемость прусака превосходила выживаемость черного таракана более чем в 9 раз.

Пример 2. Определение абсолютной выживаемости в двухкомпонентной группе.

Условия: Требуется определить выживаемость молодых и старых крыс при дератизации. Известно, что мероприятия привели к тому, что общее обилие крыс на объекте снизилась в 2 раза, а доля молодых особей упала с 80% до 60% (соответственно доля старых возросла с 20% до 40%).

Обозначения: назовем старых особей "А", а молодых - "Ю". Тогда дДa = 0.2, пДa = 0.4, дДю = 0.8, пДю = 0.6. Общая выживаемость V = 1/2 = 0.5.

Решение: По формуле (1а) определяем относительную выживаемость старых особей к молодым

Кaю = пДa*дДю/дДa/пДю = 0.4*0.8/0.2/0.6 = 2.6(6).

(Выживаемость старых особей превосходит выживаемость молодых, округленно, в 2.7 раза.)

По формуле (2) определяем относительную выживаемость молодых

Кюа = 1/Кaю = 1/2.6(6) = 0.375 (округленно 0.4)

По формуле (3) определяем абсолютную выживаемость старых особей:

Va = V/[дДa+(1-дДa)/Kaю] = 0.5/[0.2+(1-0.2)/2.7] = 1.0

По той же формуле определяем абсолютную выживаемость молодых:

Vю = V/[дДю+(1-дДю)/Kюa] = 0.5/[0.8+(1-0.8)/0.4] = 0.375

Вывод: после обработки выжило 37.5% молодых особей, а старые не погибли вовсе.

Пример 3. Определение относительной и абсолютной выживаемости в многокомпонентной группе.

Условия: До обработки группы из четырех видов "A", "B", "C", "D" их доли были равны: дДa = 0.1, дДb = 0.4, дДс = 0.2, дДd = 0.3, а после обработки стали равны: пДa = 0.1, пДb = 0.1, пДс = 0.1, пДd = 0.7. Общая численность группы сократилась в два раза (V = 0.5).

Решение для вида "А":. Прежде всего обозначим все виды, кроме "А", как "S" и определим Дs.

дДs = дДb+дДс+дДd = 0.4+0.2+0.3 = 0.9

пДs = пДb+пДс+пДd = 0.1+0.1+0.7 = 0.9

Проще:

дДs = 1- дДa = 1- 0.1 = 0.9 и

пДs = 1- пДa = 1- 0.1 = 0.9

По формуле (1а) определяем относительную выживаемость вида «А» ко всем остальным видам группы.

Каs = пДа*дДs/дДа/пДs = 0.1*0.9/0.1/0.9 = 1.0.

Относительная выживаемость вида «А» равна суммарной выживаемости всех остальных видов группы. Если начальная и конечная доля одного из сочленов группы равны, то его выживаемость равна выживаемости всей группы.

По формуле(3) Определяем абсолютную выживаемость вида «А»:

Va = V/[дДa+(1-дДa)/Kas] = 0.5/[0.1+(1-0.1)/1] = 0.5

(Еще раз: Если доля сочлена не изменилась, его выживаемость равна выживаемости всей группы.)

Решение для вида "B". Обозначим все виды, кроме "B", как "S". В этом случае дДs = 1-дДb и пДs = 1-пДb).

По формуле (1а) определяем относительную выживаемость: Кbs = пДb*дДs/дДb/пДs = 0.1*0.6/0.4/0.9 = 0.16(6), округленно 0.17.

По формуле (2) определяем абсолютную выживаемость:

Vb = V/[дДb+(1-дДb)/Kbs 0] = 0.5/[0.4+(1-0.4)/0.17] = 0.125.

Аналогичным образом находятся решения для видов "С" и "D".

Ксs = 0.4(4), округленно 0.44.

  = 0.25.

Кds = 5.4(4), округленно 5.44.

Vd  = 1.16(6),  округленно 1.17.

Выводы:

1. В исследованном случае самым чувствительным оказался вид «В» (Кbs = 0.17), несколько более устойчив вид «С» (Ксs = 0.44), еще более устойчив вид «А» (Каs = 1.0), а самый устойчивый – вид "D" (Кds = 5.44).

2. В конкретных условиях от обработки уцелело 50% особей вида "A", 12.5% вида "B", 25% вида "C" и около 117% вида "D" (численность этого вида возросла, округленно, на 17%).

3. Обработка привела к сокращению общей численности группы, при этом, однако, численности одного из ее сочленов увеличилась.

 

Статистический анализ.

В полевых, практических условиях численность, концентрация и обилие особей, а также соотношение сочленов группы (их доли) определяются выборочными методами. Поскольку результаты выборочных исследований содержат ошибку репрезентативности, ее надо учитывать и в предлагаемом анализе. Самый простой способ определения доверительного интервала выживаемости (как абсолютной, так и относительной) - вычисление соответствующих показателей по минимальным и максимальным значениями исходных данных (в пределах их доверительного интервала).

 

Литература

Ганушкина Л.А., Войцик А.А. Чувствительность разных видов и разных стадий личинок комаров к бактериальным препаратам. Мед. паразитол. и паразитарные. болезни. 1986. N 6. С. 55-58.

Гордеев М.И., Бурлак В.А. Инверсионный полиморфизм малярийного комара Anopheles messeae. Сообщение Х. Устойчивость личинок с различными генотипами к токсинам кристаллоборазующей бактерии Bacillus thuringiensis subsp. israilensis (серовар. H14). Генетика. 1991. Т. 27, N  2. С. 238-246.

Дебарьян Х.,  Коз Ж. Сравнительная чувствительность комаров шести различных видов к Bac. thuringiensis var. israilensis. Бюлл. ВОЗ. 1979. Т. 57., N 1. С. 97-99.

Костина М.Н. Зависимость активности трансфлуртина и цифлутрина (пиретроидов нового типа) от препаративной формы и биологии вида. Дез. Дело. 1998. N 4. С. 12-15.

Лиховидов В.Е., Гулий В.В., Радул М.М., Рыбина С.Ю. Восприимчивость различных экологических популяций к микроорганизмам и биопрепаратам. Бюлл. ВПС МОББ, 1987. N 18. С. 41.

Некрасова Л.С. Связь гибели личинок кровососущих комаров в хлорофосе с их биологической неоднородностью. Экология. 1989, N 4, с. 39-46

Расницын С.П., Войцик А.А., Ясюкевич В.В. Сравнение нескольких видов малярийных комаров по реакции на бактериальные инсектициды. Мед. паразитол. и паразитарные болезни. 1991, N 4, C. 6-9.

Сергиева В.П., Грачева Г.В., Расницын С.П. Чувствительность комаров Anopheles к ДДТ и малатиону в зависимости от пола, возраста и питания самок кровью. Мед. паразитол. и паразитарные болезни. 1988, N 4, С. 27-31.

Смирнова А.С., Леви М.И., Ниязова М.В., Капанадзе Э.И., Бромберг А.И., Загроба В.И., Будылина А.А., Кузнецова Р.М., Лауцин А.М., Куркин И.А. Об устойчивости некоторых субпопуляций рыжего таракана (Blatta germanica L.) к неопинамину и другим инсектицидам. Мед. паразитол. и паразитарные болезни. 1979. N 3. С. 60-66.

Rawlings P.,  Mahmood F.,  Reisen W. K. Anopheles culicifacies: the effects of adult body weight and trophic status on dieldrin LT-50 determinations. Mosquito News. 1981. Vol. 41. P. 688-692.

Van Kasea F. W., Hombree S. C. Laboratory bioassay of Bacullus thurigiensis israilensis against all instars of Aedes aegypti and A.taeniorhynhus larvae. Mosq. News. 1980. Vol. 40., N 3. P. 424-431.

WHO. Expert Committee on Vector Biology and Control. Resistans of vectors and reservoirs of desease to pesticides. Tenth report of the WHO Expert Committee on Vector Biology and Control. Wld Hlth Org. techn. Rep. Ser.- N 737.- 1986.

 


Алгоритмы для расчета размеров культур членистоногих.

Мед. паразитол. 1982, N 3, С. 37-42.

 

При массовом культивировании членистоногих необходимо знать какое число особей следует держать, чтобы получить определен­ное количество биоматериала, или, обратно, какое количество биоматериала способна обеспечить культура данного размера. Оп­ределение этих показателей эмпирически требует большого време­ни и, вследствие технических причин, обычно неосуществимо.

При описании методов массового культивирования (1, 3, 6, 7 и др.) внимание уделяется описанию условий содержания, а воп­рос о соотношении размеров культур и их продуктивности не зат­рагивается, в лучшем случае сообщается о продуктивности конк­ретной культуры. При анализе развития лабораторных популяций (5, 8) вопрос о зависимости между численностью культуры и изы­маемой продукцией также не разбирается. Даже в работе (2), специально посвященной методам оптимизации культур насекомых, эта проблема затрагивается лишь косвенно - постольку, посколь­ку автора интересуют условия, обеспечивающие максимальную пло­довитость особей. Наиболее близки к решению указанной задачи работы, посвященные эксплуатации популяций (4, 9 и др.). Но в них анализируются природные популяции позвоночных животных, поэтому результаты этих работ не могут быть перенесены на культуры членистоногих.

Благодаря разработке нового понятия - "эффективность куль­туры" удалось составить простые алгоритмы для решения указан­ных задач.

Основные понятия и их обозначения.

Большинство понятий, о которых идет речь, хорошо известны, однако, поскольку речь идет о расчетах, их необходимо четко определить.

Выживаемость (В) - средняя доля особей, оставшихся живыми в культуре. Подчеркиваю, что речь идет об особях оставшихся в культуре, а не о выживаемости вообще - т. к. потеря происходит не только из-за гибели, но и при пересадке, выбраковке, отборе проб и т.п. Вя, Вл, Вки -выживаемость, соответственно, на фазе яйца, личинки, куколки, имаго. (В дальнейшем те же индек­сы будут употребляться для обозначения соответствующих фаз и в других случаях.) В (без индекса) - общая выживаемость - от яй­ца до имаго. В=ВяхВлхВк.

Плодовитость (П) - среднее число яиц, получаемое от одной самки от заполнения до очистки садка.

Техническая продолжительность развития или (для имаго) жиз­ни (Р) - время от заполнения до очистки контейнера. Поскольку при культивировании обычно не дожидаются окончания развития (жизни) всех особей, техническая продолжительность не равна ни средней, ни максимальной продолжительности жизни или развития особей. (В дальнейшем для краткости слово "техническая" опуще­но т.к. речь будет идти только о ней.)

Плотность посадки (К) - число особей, помещаемых в один контейнер. Естественно, что со временем из-за гибели, отбора проб и т.п. их становится меньше, но расчет следует вести по посадке.

Общая продуктивность (Д) - число особей получаемых в куль­туре за единицу времени. Здесь, как раньше, так и в дальнейшем единицей может служить любой промежуток, но для всех расчетов он должен быть одним и тем же. При расчетах, связанных с оцен­кой численности культуры, важно знать не только число особей, но и число контейнеров с ними. (Для обозначения контейнеров к индексу, обозначающему фазу развития добавляется индекс "с".)

Товарная продуктивность (Т) - число особей изымаемых из культуры за единицу времени.

Интенсивность возобновления (М) - число особей, оставляемых в культуре для ее возобновления. По определению Д=Т+М.

Численность культуры (Ф) - число особей, находящихся в культуре одновременно. Численность каждой фазы однозначно за­висит от интенсивности возобновления и продолжительности ее развития (жизни): Ф=МхР.

Показатель эффективности культуры (Э). Этим понятием пред­лагается обозначать отношение величины товарной продукции к величине интенсивности возобновления (Э=Т:М) в стабильной культуре, т.е. такой, общая продуктивность которой неизменна (точнее, колеблется вокруг постоянного среднего значения). Ес­ли баланс между товарной продуктивностью и интенсивностью во­зобновления не не равен показателю эффективности, численность культуры либо растет (когда изымается не все, что можно), либо падает (когда изымается слишком много).

Величина показателя эффективности определяется плодови­тостью и выживаемостью особей: Э=аВП-1, где а - доля самок в потомстве. (Поскольку соотношение полов у членистоногих в по­давляющем большинстве случаев 1:1, в дальнейших примерах при­нято а=0.5.)

Алгоритмы.

Ниже приводятся алгоритмы нескольких наиболее часто встре­чающихся задач для сложной многоступенчатой культуры. Нет смысла охватить все возможные задачи и все возможные варианты культур. После знакомства с разобранными примерами легко вести расчеты в случаях, отличающихся от канонических.

Задача 1. Надо определить интенсивность возобновления и численность культуры для обеспечения определенной товарной продуктивности одной из фаз.

Пример. Имеется культура, обладающая следующими свойствами: П=100 яиц на самку, Вя=0.99, Вл=0.8, Вк=0.96, Кял=5000 осо­бей на контейнер, Кки=10000 особей на контейнер, Ри=8 сут., Ря=2 сут.,Рл=10 сут., Рк=3сут. Определить указанные характе­ристики для обеспечения Тя= 1 миллион яиц в сутки.

Решение приведено в табл. 1. Не следует удивляться дробным величинам числа особей и контейнеров с ними - расчеты дают средние величины. В реальности их необходимо округлять, как в цифрах, так и в культуре.

Задача 2. Для той же культуры, что и в задаче 1, определить интенсивность возобновления яиц и имаго, необходимые для обес­печения Т =20000 особей в сутки.

Решение приведено в табл. 2. Поскольку культура обладает теми же свойствами первые два шага алгоритма опущены - их мож­но видеть в табл. 1.

Задача 3. Для инсектария лимитирующим фактором является место для контейнеров с личинками - можно держать одновременно не более 25. Определить максимальную среднесуточную Т в таком инсектарии для культуры, описанной в примере 1.

Решение приведено в табл. 3. Поскольку культура обладает теми же свойствами первые два шага алгоритма опущены - их мож­но видеть в табл. 1.

Задача 4. Определить общую выживаемость в стабильной куль­туре, в которой изымается 90% получаемого биоматериала, при том, что плодовитость равна 40 яйцам на самку.

Решение. 1) Определяем эффективность культуры. Если изыма­ется 90% особей, значит товарная продуктивность составляет 0.9 всей продукции, а интенсивность возобновления - 0.1. Отсюда Э=Т:М=0.9:0.1=9. 2) Определяем общую выживаемость. Так как Э=0.5ВП-1, В=2(Э+1):П=2((9+1):40=0.5. В описанном случае в культуре от яйца до имаго доживает 50% особей.

Выше решение типовых задач приведено с максимальными под­робностями чтобы показать логику рассуждений, что облегчит ра­боту со случаями, здесь не рассмотренными. На практике длинные многоступенчатые алгоритмы целесообразно свернуть до простых формул. Так, например, решение последней задачи короче было найти из формулы В=2/П/(1-б), где б - доля изымаемой продук­ции. А если не оперировать долями, то еще проще: В=2Д/МП.

Поскольку предложенные алгоритмы основаны на средних значе­ниях характеристик культур, они дают усредненные показатели. Естественно, что в реальных условиях характеристики культур "плавают". Чтобы получить представление о точности расчетов, необходимо определить изменчивость (дисперсию) используемых характеристик и воспользоваться стандартной методикой оценки дисперсии функции по дисперсии параметров, ее определяющих. Чаще же всего требуется рассчитать гарантированный минимум производства в культуре определенного размера или, наоборот, размер культуры, гарантирующий заданный уровень производства. В этих случаях для расчетов нужно использовать пессимальные значения характеристик культуры: минимальные выживаемость, плодовитость, плотность посадки и максимальную продолжитель­ность развития, которые наблюдаются при использовании принятой методики культивирования.

Литература

1. Владимирова В. В. // Мед. паразитол. - 1966.- N 6.- С. 719

2. Тамарина Н.  А.,  Максимова В.  Н.  // Ж.  общей биол.- 1978.- N 1.- С. 111-121

3. Bailey D.  L., Lowe R. E., Dame D. A. et al. // Am. J. trop. Med. Hyg.- 1980.- Vol. 29.- P.- 141-149

4. Caughleyb G. Analisis of Veterbrate Populations.- New York.- 1977

5. Gilpin M.  E.,  McClelland G. A. H. // Fortschr. Zool.- 1979.- Bd. 25.- S. 355-388

6. Rai Desh, Ramakrishnan N. // Entomology .- 1978.- Vol. 3.-P. 45-49

7. Insect Colonization and mass Prodaction.- Ed.  C. N. Smith.- New York.- 1966

8. Timischl W. // In: Isot. and Radiat. Res. Anim. Diseases and Their Vec­tors.- Vienna.- 1980.- P. 443-454.- Discuss. 455

9. Watt K. E. F. Ecology and Resource Management. - New York.- 1968

 

 

Табл. 1. Алгоритм решения задачи 1.

Определяемый  показатель       Формула                                       Пример

1 Общая выживаемость                                    В=ВяхВлхВк      В=0.99х0.8х0.96=0.76  76% особей

                                                                               доживает от яйца до имаго

 

2 Эффективность культуры Э=0.5хВхП-1 Э=0.5х0.76х100-1=37 То­варная продукция может в 37 раз превышать ин­тенсивность возобнов­ления.

 

3 Интенсивность возобнов-                                    Мя=1000000:37=27027 яиц

ления яиц                                 Мяя                                 в сутки

 

4 Интенсивность возобнов-                                    Мся=27027:5000=5.4 кон-

ления контейнеров с яй-                                 тейнеров  с  яйцами  в

цами                                 Мсяяя                                 сутки

 

5 Интенсивность возобнов-                                    Мл=27027х0.99=26757 ли-

ления личинок                                 МляхВя                                 чинок в сутки

 

6 Интенсивность возобнов-                                    Мсл=26757:5000=5.35

ления контейнеров с ли-                                 контейнеров с личинка-

чинками                                 Мсллл                                 ми в сутки

 

7 Интенсивность возобнов-                                    Мк=26757х0.8=21405  ку-

ления куколок                                 МклхВл                                 колок в сутки

 

8 Интенсивность возобнов-                                    Мск=21405:10000=2.14

ления контейнеров с ку-                                 контейнеров с куколка-

колками                                 Мсккк                                 ми в сутки

 

9 Интенсивность возобнов-                                    Ми=21405х0.96=20549

ления имаго                                 МикхВк                                 имаго в сутки

 

10  Интенсивность возобнов-                               Мси=20549:10000=2.05

ления садков с имаго                                 Мсиии                                 садка с имаго в сутки

 

11 Численность яиц                                      ФяяхРя                                      Фя=27027х2=54054   яйца

одновременно

 

12 Число контейнеров с яй-                                      Фся=5.4х2=11  контейне-

цами                                 ФсясяхРя ров  с яйцами одновре-

менно

 

13 Численность личинок                                      ФллхРл                                      Фл=26756х10=267560  ли-

чинок одновременно

 

14 Число контейнеров с ли-                                      Фсл=5.35х10=53.5   кон-

чинками                                 ФслслхРл тейнера  с   личинками

одновременно

 

15 Численность куколок                                      ФккхРк                                      Фк=21405х3=64215  куко-

лок одновременно

 

16 Число контейнеров с ку-                                      Фск=2.14х3=6.4  контей-

колками                                 ФскскхРк неров  с куколками од-

новременно

 

17 Численность имаго                                      ФиихРи                                      Фи=20549х8=164392 имаго

одновременно

 

18 Число садков с имаго                                      ФсисихРи Фси=2.05х8=16.4 садка с

имаго одновременно

Табл. 3. Алгоритм решения задачи 3.

Определяемый  показатель   Формула                                   Пример

3 Численность личинок                                    ФлслхК                                    Фл=5000х25=125000   ли-

чинок одновременно

4 Интенсивность возобнов-                                    Мл=125000:10=12500  ли-

ления личинок                                 Мллл                                 чинок в сутки

5 Выжиавемость личинок                                    Влк=0.8х0.96=0.768  77%

до имаго                                 ВлклхВк                                 личинок доживает до имго

6 Общая продукция имаго                                    ДилхВлк Ди=12500х0.768=9600

имаго в сутки

7 Интенсивность возобнов-                                    Мя=12500:0.99=12626

ления яиц                                 Мяля                                 яиц в сутки

8 Интенсивность возобнов-                                    Ми=12626:50=253

ления имаго                                 Мия:0.5П   имаго в сутки

9 Товарная продуктивность                                    Т =9600-253=9347

имаго          Тиии    имаго в сутки


ПЛАНИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ ЛАБОРАТОРНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ.

Дез. Дело. 2005. № 1. С. 51-54.

 

 

Знание закономерностей избавляет от необходимости запоминать факты.

 

Содержание воспроизводящихся популяций живых организмов в лаборатории[2] широко распространено. Эти популяции (культуры) используют для испытания средств борьбы с вредителями, определения способности живых организмов быть возбудителями, хранителями и переносчиками болезней, для изучения их строения, физиологии, экологии, этологии и многих других целей. Для исследований, а также на продажу, переселение и в ряде других случаев из культур извлекают часть особей (биоматериал). Чтобы обеспечить необходимое и своевременное получение биоматериала, надо вести культуру по определённому плану. Литературы, посвященной планированию культур, вероятно очень мало. Не смотря на специальные поиски, мне удалось найти только одну статью, посвященную этой теме [5]. Но она не охватывает всей проблемы - предложенные в ней алгоритмы не включают фактор времени. Для планирования работы с культурой необходимо знать, как изменяется её численности во времени. Как правило, соответствующие знания даются опытом, для приобретения которого уходит много времени, материалов и сил. Но изменение численности можно рассчитать.

В популяционной биологии разработан математический аппарат, описывающий общие закономерности динамики численности популяций [1-4, 6,7]. Однако общие закономерности не имеют прямого выхода к решению задач, связанных с культивированием. Данная работа должна восполнить указанный пробел. В ней показано, как рассчитать изменения численности и выход биоматериала культуры во времени. Методы, изложенные здесь, пригодны для любых организмов от вирусов до млекопитающих.

 

ПОТЕНЦИАЛ РОСТА ЧИСЛЕННОСТИ КУЛЬТУРЫ.

Для того, чтобы рассчитывать изменение численности культуры и выход биоматериала надо знать потенциал роста численности культуры (в дальнейшем он для краткости именуется просто «потенциал» и везде обозначен символом "R"). Потенциал показывает, во сколько раз изменится численность культуры за единицу времени, если все получаемые в ней особи идут на воспроизводство (т. е. тогда, когда биоматериал из неё не извлекают). В принципе значение потенциала лежит в пределах от ноля до бесконечности. Если потенциал равен 1, численность популяции стабильна, если он больше 1 - численность растет, если меньше – снижается. Чем быстрее идёт рост численности или его снижение, тем дальше от 1 отстоит значение потенциала в соответствующую сторону.

По определению

R = (N2/N1)1/T.….....................................................................................(1),

где

N1 - число особей в начальный момент времени,

N2 - число особей того же возраста в конечный момент времени,

Т - время от начального до конечного моментов.

 

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ЕДИНИЦ ВРЕМЕНИ.

Время можно измерять в любых единицах: часах, сутках, годах и т.п. Смысл от этого не меняется. Но численное значение потенциала зависит от выбранной единицы времени. Поэтому, называя значение потенциала, надо указывать какой единице времени он соответствует. (Единственное исключение: если R=1, его значение не зависит от единицы времени.) В одной работе целесообразно придерживаться одной единицы времени.

Переход от одних единиц времени к другим легко осуществить с помощью следующего соотношения:

Rj = Rij/i                                                                                       (2),

где i и j - различные единицы времени, приведённые к одному знаменателю.

Пример 1. Переход от одних единиц времени к другим.

Условия: Годовой потенциал культуры равен 1000.

Задача: Определить месячный потенциал.

Решение: Используем формулу (2) Rj = Rij/i  .

Единицей времени в первом случае (i) служит год (12 месяцев); во втором (j) - месяц.

Подставляя значения, имеем Rj  = 10001/12.

Логарифмируя, получим: lgR = 1/12*3 » 0,25. Отсюда R » 100,25 » 1,78.

Ответ: Если годовой потенциал равен 1000, то месячный равен, округлённо, 1,78.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ КУЛЬТУРЫ.

Численность культуры можно выражать как числом особей, так и числом контейнеров с ними (если, конечно, различие в числе особей в разных контейнерах не имеет существенного значения). Подсчёт контейнерами часто используют микробиологи. Количество микроорганизмов они выражают числом засеянных чашек Петри, флаконов или других сосудов. Удобен этот способ и в культурах членистоногих. Так численность блох и тараканов выражают числом банок с ними, численность комаров – числом садков с имаго, кювет с личинками и т. п. Расчёты, связанные с планированием культур, не зависят от способа подсчёта. В дальнейшем изложении численность указана в особях, но те же формулы, примеры и типовые задачи с тем же успехом можно отнести и к контейнерам. Тогда только пришлось бы писать не «число особей», а «число контейнеров с особями».

Для того, чтобы использовать формулы расчёта, численность культуры надо выразить одним числом. Если фазовый, половой и возрастной состав культуры не меняется во времени, определение её численности не вызывает затруднений – она равна числу имеющихся особей (или, как сказано выше, контейнеров с ними). В большинстве случаев, однако, состав культуры не постоянен. То преобладают споры, то вегетативные клетки; то яйца, то – личинки, то – имаго; или то молодые особи, то половозрелые. В таких случаях, чтобы выразить численность культуры одним числом, надо "привести" всех особей к одному состоянию. Это достигается использованием коэффициентов эквивалентности. Он показывает, какое число особей последующего состояния ("потомков") могло быть получено от имеющихся особей и, обратно, какое число особей предыдущего состояния ("родителей") необходимо для получения имеющихся. Выражаясь математически:

Nf2 X Nf1*К,                                                                                              (3),

где

Nf1 - число особей данного состояния;

Nf2 - число особей того состояния, по отношению к которому ведется расчет;

К - коэффициент эквивалентности.

Когда коэффициент эквивалентности вычисляется по отношению к потомкам,

Кп = v                                                                                                                   (4a),

а когда по отношению к родителям,

КР = 1/v                                                                                                                (4b),

где

Кп   -  коэффициент эквивалентности по отношению к потомкам;

КР  -  коэффициент эквивалентности по отношению к родителям;

v - выживаемость особей от состояния родителей до состояния потомков.

Сложив число особей каждого состояния с соответствующим коэффициентом эквивалентности, получим «приведённую численность культуры», с которой можно работать. К какому состоянию особей приводить значение численности культуры, роли не играет. Важно лишь, чтобы при решении одной задачи приведение велось к одному и тому же состоянию.

Вычисление приведённой численности показано в примерах 2 и 3.

Пример 2. Определение численности культуры приведением к потомкам.

Условия: В культуре имеется 100 молодых и 20 старых самок. За период старения вымирает 0,9 (90%) особей, т. е. выживаемость равна 0,1 (10%).

Задача: Определить численность культуры, приведением к старым самкам.

Решение:

1) Определяем коэффициент эквивалентности молодых самок к старым. Поскольку старые самки по отношению к молодым последующего состояния, их надо считать потомками. Поэтому используем формулу (4a)  Кп = v.

Подставляя значение, имеем Кп = 0,1. То есть 1 молодая самка эквивалентна 0,1 старой самки.

2) Определяем приведённую численность молодых самок по формуле (3) Nf2 X Nf1*К.

Подставляя значение, имеем Nf2 X 100* Nf1*0,1. Откуда следует, что 100 молодых самок эквивалентны 10 старым.

3) Определяем общую приведённую к старым самкам численность культуры. Для этого надо сложить приведённое число молодых самок (10) и реальное число старых (20 особей). 10+20=30.

Ответ: Численность культуры, приведённая к старым самкам равна 30.

Пример 3. Определение численности культуры приведением к родителям.

Условия: В культуре имеется 100 молодых и 20 старых самок. За период старения выживает 0,1 особей (условия те же, что в примере 2).

Задача: Определить численность культуры, приведением к молодым самкам.

Решение:

1) Определяем коэффициент эквивалентности старых самок к молодым. Поскольку молодые самки по отношению к старым предыдущего состояния, их надо считать родителями. Поэтому используем формулу (4b) Кп = 1/v.

Подставляя значение, имеем Кп = 1/0,1 = 10. То есть 1 старая самка эквивалентна 10 молодым.

2) Определяем  приведённую  численность старых самок по формуле (3) Nf2 X Nf1*К. Подставляя значение, имеем Nf2 X 20* Nf1*10. Откуда следует, что 20 старых самок эквивалентны 200 молодым.

3) Определяем общую приведённую к молодым самкам численность культуры.

Для этого надо сложить приведённое число старых самок (200) и реальное число молодых (100 особей). 200+100=300.

Ответ: Численность культуры, приведённая к молодым самкам равна 300.

Примечание. То, что численность культуры, приведённая к разным состояниям особей, имеет разное значение, не должно удивлять. Этот результат аналогичен выражению цены одного и того же товара в копейках или рублях. Только удав думает, что в попугаях он больше.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА КУЛЬТУРЫ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ЕЁ ЧИСЛЕННОСТИ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ.

Если численности культуры изменяется с постоянной скоростью, её потенциал можно определить по формуле (1). Как это сделать показано в примере 4.

Пример 4. Определение потенциала культуры при изменении её численности с постоянной скоростью.

Условия: За 30 суток численность культуры, из которой биоматериал не изымался, увеличилась с 100 до 1000 особей.

Задача: Определить суточный потенциал этой культуры.

Решение: Используем формулу (1) R = (N2/N1)1/T

Подставляя значение, имеем R = (1000/100)1/30.

Логарифмируя, получим: lgR = 1/30*lg10 » 0,033. Отсюда R » 1,08.

Ответ: Суточный потенциал данной культуры равен, округлённо, 1,08.

В большинстве случаев изменение численности культуры происходит не равномерно. В периоды размножения численность культуры растет, а вне их обычно сокращается. К тому же и рост, и сокращение численности происходят в разные периоды с разной скоростью. По этой причине её потенциал меняется во времени и определять его по формуле (1) не имеет смысла. Для таких культур потенциал надо определять для поколения в целом. Чтобы это сделать, надо знать размножаемость конкретной популяции[3] (r) и продолжительность поколения (d).

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМНОЖАЕМОСТИ.

Размножаемость зависит от доли самок в потомстве, плодовитости - числа новорожденных потомков (у яйцекладущих - яиц) от одной особи (у разнополых организмов – от 1 самки) и выживаемости особей (у разнополых организмов – самок) - доли тех, кто дожил от рождения до начала репродуктивного возраста. Соответствующая формула выглядит так.

r = аFV                                                                                             (5),

где

r – размножаемость;

а - доля самок в потомстве[4];

F – плодовитость;

V – выживаемость.

Пример 5. Определение размножаемости.

Условия: В культуре самки и самцы родятся в равном числе (т. е. a = 0,5), от яйца до начала репродуктивного возраста доживает 80% самок (V = 0,8), за жизнь самка откладывает в среднем 100 яиц (F = 100).

Задача: Определить размножаемость данной культуры.

Решение: Используем формулу (3) r = аFV.

Подставляя значение, имеем r = 0,5*100*0,8 = 40.

Ответ: Размножаемость данной культуры равна 40, т. е. за поколение её численность возрастает в 40 раз (напомню, при отсутствии изъятия).

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ПОКОЛЕНИЯ.

Продолжительность поколения определяется как среднее время от появления новорождённой особи[5] (у яйцекладущих - яйца) до окончания её репродуктивного возраста.

d = (åt)/n                                                                                                (6),

где

d - продолжительности поколения;

t – продолжительность жизни каждой особи;

n – общее число исследованных особей.

Пример 6. Определение продолжительности поколения.

Условия: В культуре исследовано 200 особей, продолжительность жизни 20 особей равнялась 10 суткам, 50 особей – 11 суткам, 100 особей – 12 суткам и 30 особей – 13 суткам.

Задача: Определить продолжительности поколения.

Решение: Используем формулу (6) d = (åt)/n.

Подставляя значение, имеем d = (10*20+11*50+12*100+13*30)/200 = 11,7.

Ответ: Продолжительности поколения данной культуры - 11,7 суток.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА КУЛЬТУРЫ ПРИ ЛЮБОМ ХАРАКТЕРЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЕЁ ЧИСЛЕННОСТИ.

Когда размножаемость и продолжительность поколения известны, формула (1) приобретает иной вид. Поскольку N2  = rN1, а T = d,

R = (rN1/N1)1/d = r1/d                                                                          (7),

где

r – размножаемость;

d - продолжительность поколения;

N1  - исходная численность поколения.

Пример 7. Определение величины потенциала через размножаемость и продолжительность поколения.

Условия: Размножаемость культуры равна 40, а продолжительность поколения – 20 суток.

Задача: Определить суточный потенциал.

Решение: Используем формулу (7) R = r1/d .

Подставляя значение, имеем R = 401/20.

Логарифмируя, получим: lgR = 0,05*lg40. Откуда R » 1,2.

Ответ: Суточный потенциал культуры равен, округлённо, 1,2.

 

ЗАМЕЧАНИЕ ПО СТАТИСТИКЕ.

Хотя условия в культурах обычно стабильны, потенциал роста численности всё же колеблется от поколения к поколению. Поэтому целесообразно определить его несколько раз и использовать для расчётов минимальное значение (для гарантии). Если же условия культивирования не постоянны, потенциал роста надо определять для каждого периода.

 

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

Задача 1. Определить какой численности достигнет культура к заданному времени при отсутствии отбора биоматериала.

Формула: N2  = N1 * RT.

Пример: Численность культуры с суточным потенциалом R = 1,17, равна 10 (N1=10). Определить её численность через месяц (T=30 суток).

Решение: N2  = 10*1.1730 » 1111.

Ответ: Численность культуры через месяц будет равна, округлённо, 1111.

Задача 2. Определить время, к которому культура достигнет заданной численности при отсутствии отбора биоматериала.

Формула: T = (lgN2 - lgN1)/lgR.

Пример: Численность культуры с суточным потенциалом R = 1,17, равна 10. Определить, когда её численность достигнет миллиона.

Решение: T = (lg1000000-lg10)/lg1.17 » (6-1)/0,068 » 73,5.

Ответ: Миллион будет в культуре через 73-74 суток.

Задача 3. Определить долю особей (Х), которых нужно оставлять на воспроизводство, чтобы к заданному времени культура достигла заданной численности.

Формула: Х = (N2 /N1)1/T/R.

Пример: Численность культуры с суточным потенциалом R = 1,17, равна 10. Определить какую долю особей надо оставлять на воспроизводство, чтобы через год (365 суток) ее численность достигла миллиона.

Решение: Х = (1000000/10)1/365/1,17 » 0,88.

Ответ: Для достижения цели надо оставлять на воспроизводство, округлённо, 0,88 (88%) особей.

Задача 4. Определить долю биоматериала (Y), которую можно ежесуточно изымать из культуры с тем, чтобы ее численность оставалась на одном уровне.

Формула: Y = 1-1/R.

Пример: Имеется культура с суточным потенциалом R = 1,17. Определить, какую долю особей можно использовать в качестве биоматериала.

Решение: Y = 1-1/1,17 » 0,145.

Ответ: В качестве биоматериала можно ежесуточно изымать, округлённо, 0,145 (14,5%) особей.

Примечание. В задачах 3 и 4 речь шла о ежесуточном отборе, поэтому в расчётах использован суточный потенциал. Если требуется определить возможность отбора за другой промежуток времени, надо использовать значение потенциала за этот промежуток.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Использование потенциала роста численности позволяет рассчитывать изменение численности культуры во времени и объем биоматериала, который можно извлекать из неё.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Варли Дж.К.,Градуэл Дж.Р., Хассел М.П. Экология популяций насекомых. М., Колос. 1978. С. 1-222.

2. Дажо Р. Основы экологии.  М. Прогресс. 1975. С. 1-416.

3. Коли Г. Анализ популяций позвоночных. М., Мир, 1979, С.1-362.

4. Одум Ю. Основы экологии. М., Мир. 1975, С. 1-740.

5. Расницын С.П. Алгоритмы для расчета размеров культур насекомых. Мед. паразитол. 1982. N 3, С. 37-42.

6. Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. М. Мир. 1971. С. 1-464.

7. Чернышев В.Б. Экология насекомых. Учебник. М. Изд-во МГУ, 1996. С. 1-304.

 

Резюме

Предлагается показатель, характеризующий темп роста численности культур живых организмов во времени. Приведены способы расчёта этого показателя и, на основе его, изменения численности культур и входа биоматериала.

 

Planning of laboratories population living organisms.

It was proposed the index, characterizing the temp of growth of the organisms numbers, the method of its calculation and examples of its using for cultures planning, determination of production value.


Û - знак сравнения.

 

ВОЗВРАТ К ОГЛАВЛЕНИЮ

 



[1] «Численностью» называют общее число особей на какой-либо территории, «концентрацией» - число особей на единицу пространства, «обилием» – на единицу учета.

 

[2] В научном обиходе такие популяции называют "культурами", а их содержание - "культивированием".

[3] Размножаемость показывает, во сколько раз увеличивается численность культуры за одно поколение.

[4] У бесполых и гермафродитных организмов a = 1 и, значит, этот показатель можно не учитывать.

[5] У гермафродитных организмов любой, у разнополых – самки.